DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 43 



Dit geeft j 3" " 1 — (n -f 2) 2 U - * -f ^ 2 -f- » -f • 1 ) 2" " * singuliere 

 punten P 2 (vergelijk n°. 28) ! ). 



Zs /=0, g — l, r^>l (dus ook ó'^>1), r/rtw as e^ efer sin- 

 guliere krommen een volledige kromme van aan railing, de beide andere 

 zijn dubbelhr ommen. In de 2"~ 2 snijpunten vertoonen ziek dezelfde 

 bijzonderheden als de in n°. 29 beschrevene. Het aantal van zulke 

 singuliere puntgroepen bedraagt: 



n(2"- 2 — n). 



Dit geef t u("2"~ 2 — n)2 n ~ 2 singuliere punten jP 3 . 



Is t = 0, q = r = l, s^> 1, dan zijn twee der singuliere krom- 

 men volledige krommen van aanraking , de derde is een op een hyper- 

 bolische paraboloïde gelegen dubbelkromme. In de 2 n ~ 1 snijpunten 

 vertoonen zich, dezelfde bijzonderheden als in n°. 31. Het aantal 

 dier singuliere puntgroepen bedraagt \n(yi — 1), te za men bevattende 

 n{n — l)2 n ~ 2 singuliere punten P 5 2 ). 



Omtrent de singuliere krommen heeft men: 



Een afzonderlijke kromme van aanraking heeft de 2(n — I) snij lijnen 

 van haar vlak met de niet-toe gevoeg de singuliere raakvlakken tot 2 n ~' i - 

 voudige raaklijnen. De kromme heeft {2 n ~ 2 — n)2 n ~' i dubbelpunlen 

 (snijpunten met dubbelkrommen) en is dus van het geslacht {n — 3) 

 ,5"- 3 + i en van de klasse {n — l)2 n ~ 2 . 



Een dubbelkromme Ciï) heeft voor 2<^i<^n — 2 de 2 n singu- 

 liere raakvlakken lot 2 n ~ i -voudige raakvlakken en verder (2'~ l -\-~ 

 2"- i - i — n — 2) 2" ~ 3 dubbelpunlen. 



Een dubbelkromme C{2) — of, wat op hetzelfde neerkomt, een 

 dubbelkromme C(n — 2) — heeft 2(n — 2) singuliere raakvlakken 

 tot 2 n ~ z -voudige raakvlakken. De (n- — 2)2' l ~ 2 raakpunten zijn 

 uniplanaire üoeebladige punten der dubbelkromme. De 2 n ~ i snij- 

 punten met de vier overige singuliere raakvlakken zijn uniplanaire 

 eenbladige punten der dubbelkromme. Verder heeft de dubbelkromme 

 {2 n -' A — n-\-l) 2 n ~ :J dubbelpunlen. 



Omtrent de op de singuliere krommen liggende singuliere punten 

 heeft men: 



*) In tegenstelling met de punten P 2 van n°. 28 liggen deze singuliere punten in 

 het eindige. 



2 ) Het geval <=0, q = r = s = l kan zich natuurlijk alleen voordoen als n = 3 is. 

 Het oppervlak is dan van den 4 i 'en graad met zes kegelsneeraakvlakken en 14 kegel- 

 punten. Van deze 14 kegelpunten liggen er G op de gegeven lijnen, terwijl de 8 

 overige telkens snijpunten van 3 niet- toegevoegde kegelsneden van aanraking zijn. 



