DEP PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 45 



Stel nu 



«i = W i + C/ T , »i' = W/ -f C/ T , 



waarin c t en c/ constanten en w i en w/ lineaire homogene functies 

 van x, y en g zijn. Dan is: 



\Zu { U- = ]/ )w i 'W- -f- T O, 6-/ -f /r/ C, -f- C, C,' T)j = 



1/ L , T (^c,'+^'c, + c,c,'r) T^cZ-L-w/Ci-f-CiC/T) 2 | 



= |/ftvü,|l + - — j — - — ^t ^ö + •••• = 



1/ ,(, i w j c l + w i c i ,/Wi<k—Wi'c t \ 2 , . 



! ' 2 w, w, 8 \ WjWj / ' 



(Piûl + tDi'càtoOiCÏ — IDi'Ci)* „ | 



n 16 Wi 3 wï 3 )' 



In den irrationalen factor is dus de term, die vrij van r is: 



\/ w x io^ -\- ]Xw 2 w 2 ' -\- -f- \/w H w n '. 



Deze term moet identisch nul zijn, wil de irrationale factor door 

 r deelbaar zijn. Dit kan alleen als de termen \/ / w 1 'w 1 ', ]/ w 2 %v 2 , 

 enz. elkaar twee aan twee opheffen, zoodat graadverlaging van het 

 oppervlak alleen bij een even aantal gegeven lijnen ^voorkomen lean. 

 Voor dit opheffen is verder noodig, dat b.v. ■w l en w^ identisch 

 gelijk zijn aan w 2 en tv 2 ' , verder #> 3 en w 3 ' aan w 4 en tv 4 ' , enz. 

 Dit beteekent, dat de gegeven lijnen l x en l 2 evenwijdig zijn, even- 

 zoo l s en l 4 , enz. Is dit het geval dan bestaat de deelbaarheid 

 door r voor die irrationale factoren, waarbij aan \X w 1 w^ en \/w 2 w 2 \ 

 aan \/w 3 io 3 ' en \Zto 4 w 4 , enz. tegengestelde teekens zijn toege- 

 kend. We vinden dus: 



Het oppervlak wordt dan en alleen dan van logeren dan den 2 n 

 graad als de gegeven lijnen twee aan twee evenwijdig zijn 1 ). 



Opgemerkt zij , dat als er graadverlaging intreedt de kromme 

 in het oneindige van l/et oppervlak (dat overblijft na afsplitsing van 

 het vlak in het oneindige) geen dubbelkromme meer is en niet meer 

 van de waarde van C onafhankelijk. Wel vormen nu nog steeds 

 de termen , die C niet bevatten , een zuiver vierkant , maar ten- 

 gevolge van de graadverlaging worden de termen van den hoog- 

 sten graad niet uitsluitend door deze C niet bevattende termen 

 opgeleverd. 



l ) Dit geldt ook voor C=0. We beschouwen het oppervlak dan nog steeds als van 

 den graad 2" , nl. als uit twee samenvallende stukken bestaande. 



