46 O VEE DE MEETKUNDIGE PLAATS 



42. Bedrag der graad verlaging. 



Voor het aantal teekencombinaties, waarbij de irrationale factor 

 door r deelbaar wordt, vindt men 2-''. Dit aantal wordt echter 

 nog grooter wanneer verschillende paren evenwijdige lijnen ook 

 onderling evenwijdig zijn. Onderstel nu dat de gegeven lijnen uit 

 m groepen ieder van een even aantal evenwijdige lijnen bestaan en 

 wel zoo dat die groepen 2/; T , 2 p 2 , . . . . , 2p m lijnen bevatten 

 (waarbij natuurlijk ondersteld kan worden, dat de lijnen van de 

 eene groep niet evenwijdig zijn aan die van de andere), dan vindt 

 men gemakkelijk voor het aantal teekencombinaties, waarbij de 

 wortelvormen elkaar voor r = twee aan twee opheffen : 



(2^)^(2^ (2jO Pm , 



zoodat de rationale vergelijking door even zoovele factoren r deel- 

 baar is. 



Is C^é. , dan kan geen enkele irrationale factor door een hoo- 

 gere macht van r deelbaar worden, daar de term Cr niet tegen 

 de irrationale termen kan wegvallen. We vinden dus: 



Vormen de gegeven lijnen m groepen van 2p x , 2p 2 , . . . ., 2p m 

 onderling evenwijdige lijnen , dan bedraagt de graadvermindering van 

 liet oppervlak 



(2^i ) Pl (2#j) ft @Pm)p m - 



Is C^> 0, dan kan die graadvermindering niet meer bedragen. 



43. Voorwaarde voor verdere graad ver laging als 



C = is. 



Ts echter (7=0, dan kan een nog verdere graadverlaging intreden 

 doordat een der irrationale factoren door r 2 deelbaar wordt. Hier- 

 voor is noodig, dat voor ieder der m groepen van gegeven lijnen 

 met bepaalde teekencombinatie, waarbij echter even veel positieve 

 als negatieve teekens gekozen moeten worden , identisch voldaan 

 is aan de vergelijking 



E + (Wi cl 4- w- cl) = , 

 dus voldaan is aan 



S + Ci =0, S + c/=0. 



Men moet dus b.v. hebben : 



c 4 + c 2 + +^ = C P,+1 + c />,+2 + +C-2P, . 



cl -f-e 2 ' -f + C V, = c '/>.+i + c 'p.+2 + + c '2 Pl ' 



C 2p l +i~\~ C 2p,+2~\~ ■ • • • \~ C 2p l +-p ï r=lC 2p l +p. l +i ~T C 2p,+p 1 +2~T • • • '~T C 2p,+2p 1 > 



enz. 



