DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 47 



Deze voorwaarden drukken uit, dat de evenwijdige gegeven lijnen 

 van een zelfde groep evenwichtsligging vertoonen, waarmede we 

 bedoelen, dat het mogelijk is langs die evenwijdige lijnen gelijke 

 krachten (in de eene of de andere richting) zoo Ie leggen, dat ze 

 evenwicht maken. Natuurlijk kan het ook voorkomen, dat een 

 groep van gegeven lijnen op mee]- dan één wijze evenwichtsligging 

 vertoont, waarvoor dan noodig is dat de groep in twee deelen te 

 splitsen is, zoodanig dat zich bij ieder deel afzonderlijk evenwichts- 

 ligging voordoet. 



Voor C= treedt dan en alleen dan een nog verder graad- 

 verlaging dan de in n . 42 opgegevene in , als ieder der m groepen 

 van onderling evenwijdige lijnen evenwichtsligging vertoont. 



44. Het analoge oppervlak voor n gegeven punten. 



Terwijl graadverlaging bij het oppervlak, dat we in dit hoofd- 

 stuk bestudeerd hebben, een bijzonderheid is, is het voor n even 

 regel bij het volgende vraagstuk: 



Be m. pi. te onderzoeken der punten, waarvan de som der afstan- 

 den tot n gegeven punten een standvastige waarde C heeft. 



Voor dit oppervlak, waarmede we ons in het verdere gedeelte 

 van deze paragraaf zullen bezighouden, krijgt men soortgelijke resul- 

 taten, waarom we daarop niet verder ingaan. Alleen zij het vol- 

 gende opgemerkt: 



Het oppervlak heeft eenige bij verschillende teekencombinaties 

 behoorende bladen, die elkaar doorsnijden kunnen, maar die in het 

 algemeen geen bestaanbare singular/' lei ten vertoonen. Gaat het opper- 

 vlak door een gegeven punt, dan heeft liet in dat punt een ke//el- 

 punt 1 ), waar bij verschillende teekencombiuaties behoorende bladen 

 samenhangen; de raakkegel in zulk een kegelpunt is van omtveuleliug 2 ). 



') Dit blijkt o. a. uit de vergelijking van het oppervlak. Deze is in irrationalen vorm 



Vv l + V\+ + v/^ = c, 



waarin t',=0, u 2 = 0, enz. bolkegels zijn. In rationalen vorm luidt de vergelijking 



v t f K v t ...v n C)+\g (v t v t . . .v n C) ! ' = 0, 



waaruit men onmiddellijk ziet, dat, als de top van den bolkegel v 1 = op het opper- 

 vlak ligt, dit punt dubbelpunt van het oppervlak is. 



2 ) Dit blijkt weer gemakkelijk uit de vergelijking. Daaruit ziet men, dat de bol- 

 kegel ^=0 het oppervlak volgens een kromme aanraakt, ni. de doorsnede van dien 

 bolkegel met het oppervlak g (y, i\ . . .v n C) = 0. Deze kromme van aanraking heeft in 

 den top van den bolkegel een dubbelpunt, waaruit blijkt, dat de raakkegel in dien top 

 den bolkegel volgens twee beschrijvende lijnen aanraakt en dus een omwentelingskegel is. 



Tot hetzelfde resultaat komt men meer meetkundig aldus. Zijn P 1 , P t , ..., P n 

 de gegeven punten, Q een willekeurig punt en QP l = )\ i . We verplaatsen Q naar een 



