48 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



Voor voldoend groote ivaarde van C heeft het oppervlak een convex 

 gesloten blad, waar de som der absolute afstanden gelijk aan C is 1 ). 

 Dit blad ontwikkelt zich voor een zekere waarde van G uit een 

 punt, dat zoowel in een der gegeven punten als daarbuiten kan 

 liggen 2 )' 6 ). Neemt C toe dan breidt dit blad zich uit om telkens 

 big het passeeren van een gegeven punt een kegelpunt te krijgen en 

 weer te verliezen. 



45. Aan de n punten worden coëfficiënten toegekend. 



Voor n oneven is het in het vorige nummer beschouwde opper- 

 vlak , evenals dat voor n gegeven lijnen , van den graad 2". Is n 

 even dan heeft er echter, ook in het algemeen, graadverlaging 

 plaats. Voor n gegeven lijnen kan men zich van graadverlaging 



naburig punt Q' en noemen de verplaatsing A7, hare componenten Ax, Ay, Az en de 

 vermeerdering, die r- daardoor ondergaat, Ar-. Zijn x, y, z de coördinaten van Q, 

 as;, y-0 z- die van P t , dan is als Q van P i verschilt bij eerste benadering: 



Ax(x — x : ) + Ay(y—y i ) + Az(z — z j ) [ax(x — x ; )} 



Ar- = = , 



r t r { 



terwijl als O met b.v. P 1 samenvalt 



Ar, = Al = \/(Axy + (Ay) 1 + (Azy 



is. Liggen Q en Q' beide op het oppervlak, dan is 



± Ai\ ± Ar 2 ± ± Ar n = 0, 



dus als Q in P y valt: 



i r( x i' — x.) Ax~\ r(ar, — x.) Ax~] i 2 



W + M- + (*■)■ = j [^V— ] ± ± l~Hr—] I • 



Dit stelt met Aa;, A y en Az als loopende coördinaten de vergelijking van den raak- 

 kegel in P, voor. Die verg. is van den vorm 



( Ax) 1 + (Ay) 2 + (AzY = (LAX + MAy + NAz)\ 



waaruit weer blijkt, dat de raakkegel den bolcirkel tweemaal aanraakt. Zijn L, Men N 

 de componenten van een vector, die een grootte D heeft en een hoek a. met de verplaat- 

 sing a£ maakt, dan gaat de vergelijking van den raakkegel over in 



D cos ot = 1 . 



Hieruit blijkt, dat de raakkegel onbestaanbaar is voor D<il. Is D>1, dan krijgt 

 men een bestaanbaren kegel met den vector D als omwentelingsas en een halven topboek 



Bii cos -—. 

 J D 



') Dit blijkt weer onmiddellijk door het verloop der functie S (som der absolute 



afstanden) op een willekeurige rechte lijn te beschouwen. S is ia één punt van die lijn 



minimaal. 



2 ) Zie b.v. R. Sturm, Ueber den Punkt kleinster Entfernungssumme von gegebenen 

 Punkten, Crelles Journal Bd. 97 (1884), S. 49-61. 



3 ) Uit het verloop der functie S op een willekeurige rechte blijkt onmiddellijk, dat 

 S in slechts één punt een minimale waarde heeft en daar alleen dan een stationaire 

 waarde heeft als dit minimum-punt buiten de gegeven punten valt. 



