50 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



De m. pi. der pinden, waarvan de som der met f i vermenig- 

 vuldigde afstanden tot n gegeven punten P, (i = 1 , 2 , . . . , u) 

 een standvastige waarde G heeft, is voor C ^é in het algemeen een 

 oppervlak van den graad 2". Voor bijzondere waarden der coëffi- 

 ciënten splitst zich het vlak in het oneindige een even aantal malen 

 van het oppervlak af (m. a. w. wordt de graad van het oppervlak 

 met een even bedrag verlaagd), en wel zooveel maal als het aantal 

 teekencombinaties bedraagt, ivaarbij aan de vergelijking 



voldaan is. 



40. Graadverlaging als de coëfficiënten de eenheid zijn. 

 Is, zooals we in het volgende weer onderstellen, 



ƒ ï == f 2 = • • • • = fn == *- > 



dan kan aan de vergelijking 



±/i +/a+ + /, = 



alleen voldaan worden als n even is en wel door evenveel -|- als 

 — teekens te kiezen, dus op (n) kn manieren. Hieruit volgt: 



De m. pi. der punten, waarvan de som der afstanden tot n ge- 

 geven punten standvastig is, is voor n oneven een oppervlak van den 

 graad 2" met dubbel kromme in het oneindige, voor n even een opper- 

 vlak van den graad 2 n — (»)j„ zouder d/ibbelkromme in het onein- 

 dige. Een nog verdere graadverlaging kan als C^£. is niet intreden. 



47. Verdere graad ver laging voor C= 0. 



Is C= 0, dan is het oppervlak voor n oneven van den graad 

 2" -1 en voor n even in het algemeen van den graad 2" _1 - — \{n) kn . 

 Voor het intreden van nog verdere graad verlaging is noodig, dat 

 minstens een der irrationale factoren door r 2 deelbaar is, hetgeen 

 het geval is als voor evenveel -\- als — teekens identisch voldaan 

 is aan 



E + {xx i -f yy { -f- zz t ) = 0. 



Uit deze vergelijking volgt: 



2 + œ . = , S + y t = , S + s, = , 



waarbij de teekencombinaties in de drie vergelijkingen dezelfde 

 zijn. Deze vergelijkingen drukken uit, dat de gegeven punten 

 eventoichtsfigging vertoonen , d. w. z. dat door die punten getrokken 



