DEE PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 51 



evenwijdige lijnen voor iedere richting dier lijnen evenwichtsligging 

 bezitten (zie n°. 43) of dat men die punten, zoo in twee even tal- 

 rijke groepen kan verdeelen, dat beide groepen hetzelfde zwaartepunt 

 hebben. We vinden dus: 



De m. pi. der punten, waarvan de algebraïsche som der afstanden 

 tot n gegeven punten (11 even) nul is, is alleen dan van lageren 

 dan van den graad 



2 n_1 — i(«) è „ 



als de gegeven punten evenwichtsligging vertoonen. 



Natuurlijk kan het ook voorkomen , dat de gegeven punten op 

 meer dan een wijze evenwichtsligging bezitten. 



48. Bijzonder geval n = 4. 



Zijn (zooals steeds ondersteld wordt) de gegeven punten alle 

 verschillend, dan kan evenwichtsligging dier punten eerst optreden 

 als n minstens 4 is. Voor n = 4 is daarvoor noodig, dat de vier 

 gegeven punten de hoekpunten van een parallelogram vormen. Is 

 C = , dan zijn er van de acht irrationale factoren twee door r 

 en één door t 2 deelbaar, zoodat het oppervlak van den graad 

 2 3 — 2 — 2 = 4 wordt l ). 



Het oppervlak kan van geen lageren dan den 4 den graad worden. 

 Immers daartoe zou noodig zijn, dat de door r 2 deelbare irratio- 

 nale factor door r 3 deelbaar wordt. Nu is de coëfficiënt van r 2 

 in de ontwikkeling van dien factor 



— 2 ryp» 



Deze coëfficiënt is alleen dan identisch (d. w. z. voor alle waarden 

 van œ, y en z) nul als men heeft 



S + a?i 2 = 0, enz., S + ffi z i = 0, enz., 



waarbij de teekens (twee -j- en twee — teekens) dezelfde moeten 

 zijn als in de vergelijkingen £ + ^, ; =0, enz. Nu kan men het 

 assenstelsel zoo kiezen, dat men heeft 



z \ = 2 2 = ^3 = 2 4 = " ' V\ =z ^2 == V> a '2 = ~ X l> X 4 = X 3> y 'i == y?> • 

 Dan is 



x \ ~h x 2 X 3 ' — ' X 4 = ' enZ ' ' 



') Is het parallelogram een rechthoek, dan bestaat dit oppervlak uit de beide vlak- 

 ken, die de zijden van den rechthoek loodrecht halveeren, ieder vlak tweemaal geteld. 



4* 



