DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 53 



iets dat alleen het geval is als de n — i (n — i even) niet in V 

 gelegen gegeven lijnen twee aan twee symmetrisch ten opzichte 

 van V liggen. Het wegvallen der irrationale termen heeft dan 

 voor 2- (n ~ } verschillende teekencombinaties dier termen plaats. 



We vinden dus : 



liet op per cl al' kan alleen dan een plat vlak bevatten als de 

 gegeven lijnen , die niet in dit vlak liggen , twee aan twee symme- 

 trisch ten opzichte van dit vlak verhopen. Bovendien is dan echter 

 noodig , dat voor ieder punt van het vlak voor minstens één teeken- 

 combinatie de algebraïsche som der afstanden tot de i in het vlak 

 gelegen gegeven lijnen de waarde C heeft. 



50. Voorwaarde voor graad ver laging eener vlakke 



d o o r s n e d e. 



Zonder onbepaald te worden kan de doorsnede met het vlak V 

 ook van lageren dan den 2" den graad worden. Dan zal bij ieder 

 aan V evenwijdig vlak graadverlaging voorkomen, zoodat Ave bij 

 het opzoeken der voorwaarde voor die graad verlaging steeds het 

 vlak V zoo kunnen aannemen, dat het niet door een gegeven lijn 

 gaat en de vergelijking dus behalve C geen rationale termen bevat. 



Maken we nu weer de vergelijking der doorsnede door invoering 

 van r homogeen, dan heeft er graadverlaging plaats als minstens 

 een der 2" irrationale factoren voor r = een identiteit wordt. 

 Wanneer het vlak V aan i gegeven lijnen evenwijdig loopt, worden 

 i wortelvormen voor r = rationaal. Onderstel nu weer, dat die 

 rationale termen elkaar bij een bepaalde teekencombinatie op- 

 heffen. De overige termen heffen elkaar voor r = op als de 

 lijnen * i + 1 en s' i + i evenwijdig zijn aan de lijnen * i + 2 en s' i + 2> enz. 



Hieruit leidt men gemakkelijk af: 



Be doorsnede van hel oppervlak met een vlak V ondergaat een 

 graadverlaging , m. a. w. bevat een of meer malen de lijn in het 

 oneindige van dit vlak, als langs de aan V evenwijdig hopende 

 gegeven lijnen eenheidsvechren gelegd kunnen worden, waarvan de 

 som nul is, en de overige gegeven lijnen twee aan twee parallel 

 zijn of antiparallel ten opzichte van V. Met antiparallel ten 

 opzichte van V is bedoeld, dat de eene lijn evenwijdig is aan liet 

 spiegelbeeld van de andere in V. 



51. B ij zonder geval n = 2. 



Aan de bovengevonden voorwaarde is, behalve voor n = 2, 

 alleen bij bijzondere ligging der gegeven lijnen voldaan. 



