DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 55 



dat een der irrationale factoren alleen dan ideaal door r deelbaar 

 is als niet de een of andere teekencombinatie identisch voldaan is aan 



+ ti\ + w 2 + . . . . + io t = 0. 



Stel dat dit voor j teekenconibinaties het geval is (J even). 



De n — i niet aan V evenwijdige gegeven lijnen zijn, als er 

 graadverlaging intreedt, twee aan twee parallel of antiparallel ten 

 opzichte van V , of algemeener die n — i lijnen vervallen in m 

 groepen van 2/> 1 , 2^ 2 >- . . ., 2p nl lijnen, zoodanig dat de lijnen 

 van een zelfde groep parallel of antiparallel zijn, de lijnen van 

 verschillende groepen echter niet. In dat geval bestaat de deel- 

 baarheid door t voor 



j (2i?i) Pl (2i? 2 )p, &Pm)p m 



irrationale factoren. 



Wanneer nu de gegeven lijnen geen andere bijzonderheden in 

 ligging vertoonen dan die welke op de richting dier lijnen betrek- 

 king hebben, dus geen bijzonderheden, waarbij de grootheden c,, 

 en c,. betrokken zijn, is geen der irrationale factoren door een 

 hoogere dan de eerste macht van r deelbaar, zoodat de rationale 

 verg. door 



r J(2p 1 ) Pl .. ..@p m ) Pm 



en door geen hoogere macht van r deelbaar wordt. Ditzelfde geldt 

 natuurlijk voor ieder vlak evenwijdig aan V, zoodat we vinden: 



Kan men op j manieren langs de i aan een vlak V evenwijdige 

 gegeven lijnen eenheidsvectoren zoo leggen, dal hun som i nul is 1 ), 

 en vervallen de n — i niet aan V evenwijdige gegeven lijnen in m 

 groepen van 2p } , 2p 2 , - • •> ^Pm parallèle of antiparallele lijnen, 

 dan is de lijn in liet oneindige van het vlak V een 



'/(2p 1 ) pi (2p. 2 ) 2h {%Pm)p m - 



voudige lijn van het oppervlak. Hierbij is ondersteld, dat de ge- 

 geven lijnen alleen wat hun richting aangaat een bijzondere ligging 

 vertoonen. 



53. Toepassing op de gevallen n = 3 en n = 4. 



Uit het voorgaande volgt: 



Voor n = 3 bevat de dubbelkromme in het oneindige een rechte 

 als de gegeven lijnen evenwijdig aan een zelfde vlak loojjc/t en zich 



x ) Is i>0, dan is j steeds even. Is j = 0, dan moet men echter 7 = 1 stellen. 



