56 O VEE DE MEETKUNDIGE PLAATS 



daarop als een gelijkzijdige driehoek projecteeren. De lijn in het 

 oneindige van dit vlak is dan een dubbellijn van het oppervlak 1 ). 



Verder vindt men : 



Voor n = 4 bevat de dubbelkromme in het oneindige alleen dan 

 een rechte, als of twee der gegeven lijnen parallel zijn of de ge- 

 geven lijnen twee aan twee antiparallel zijn ten opzichte van een 

 zelfde vlak 2 ). 



In het eerste geval behooren tot de dubbelkromme in het on- 

 eindige de lijnen in het oneindige der beide onderling loodrechte 

 vlakken ten opzichte waarvan de twee niet evenwijdige gegeven 

 lijnen antiparallel zijn. Deze lijnen in het oneindige zijn viervou- 

 dige lijnen van het oppervlak. 



Een bijzonder geval van het voorgaande heeft men als drie ge- 

 geven lijnen evenwijdig zijn. Er zijn dan twee vlakstellingen ten 

 opzichte waarvan die lijnen antiparallel zijn aan de vierde gegeven 

 lijn; de beide lijnen in het oneindige dier vlakstellingen zijn zes- 

 voudige lijnen van het oppervlak. 



In. het tweede geval is de lijn in het oneindige van het vlak, 

 ten opzichte waarvan de gegeven lijnen twee aan twee antiparallel 

 zijn , een viervoudige lijn van het oppervlak. Maken de beide 

 paren gegeven lijnen gelijke hoeken met dat vlak, dan vertoonen 

 ze nog ten opzichte van een ander vlak (loodrecht op het eerste) 

 antiparallele ligging en is ook de lijn in het oneindige van dat 

 vlak een viervoudige lijn van het oppervlak. 



54. Voorwaarde voor verdere graadverlaging der 

 doorsnede. 



Het kan gebeuren, dat de gegeven lijnen in hunne onderlinge 

 ligging nog andere bijzonderheden vertoonen , dan die welke alleen 

 op de richtingen dier lijnen betrekking hebben , waardoor een of 

 meer irrationale factoren door een hoogere dan de eerste macht 

 van r deelbaar worden en dus de doorsnede een nog verdere 

 graadverlaging ondergaat. Daarvoor is noodig, dat behalve aan 



') Hieruit volgt echter niet, dat de lijn in het oneindige van het vlak V, waaraan 

 de gegeven lijnen evenwijdig loopen, slechts éénmaal tot de dubhelkromme in het on- 

 eindige behoort. Integendeel bestaat deze dubbelkromme uit den bolcirkel en de dubbel- 

 tellende lijn in het oneindige van V (zooals zich gemakkelijk uit de rationale verg. van 

 het oppervlak laat aantoonen); de beide bladen door de lijn in het oneindige van V 

 raken het oneindig verre vlak aan. 



') Een derde geval is nog dat de gegeven lijnen twee aan twee evenwijdig loopen. 

 Dan wordt echter de graad van het geheele oppervlak verlaagd, iets dat we in deze § 

 hebben uitgesloten. 



