58 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



ook geldt voor de beide groepen, waarin de lijnen s' i+i , . . . ., s i + 2p 

 vervallen, moeten de gegeven lijnen van de groep A evenwichts- 

 ligging vertoonen en evenzoo die van de groep B. 



We vinden dus: 



Is aan de in n . 52 genoemde voorwaarde voldaan , dan is de 

 lijn in lief oneindige van liet rial- V dan en alleen dan een meer dan 



/(2MJ 2 ft) A (?pj Pm - 



voudige lijn can lief oppervlak als voor minstens één teekencombinatie de 

 algebraïsche som der afstanden lot de projecties op V der aan V even-, 

 wijdige gegeven lijnen voor ieder punt van V de waarde C heeft en 

 ieder der m groepen, waarin de overige gegeven lijnen vervallen, uit twee 

 stelsels van onderling everwijdige lijnen in evenwichtsligging bestaat 1 ). 



55. Toepassingen. 



Wanneer we, zooals we in deze paragraaf steeds gedaan hebben, 

 de gevallen uitsluiten , waarin de graad van het geheele oppervlak 

 verlaagd wordt, kan de in het vorige nummer beschouwde bijzonder- 

 heid zich niet voordoen als n = 2 is. 



Is n = 3 , dan doet zich die bijzonderheid voor als de drie 

 gegeven lijnen evenwijdig aan een zelfde vlak V loopen en zich 

 daarop als een gelijkzijdige driehoek niet een hoogte C projec- 

 teeren. Terwijl bij willekeurige hoogte van dien gelijkzijdigen drie- 

 hoek de lijn in het oneindige van V dubbellijn is, wordt ze voor 

 een hoogte C een drievoudige lijn van het oppervlak. 



Daar voor evenwichtsligging minstens vier evenwijdige lijnen 

 noodig zijn, kan zich de verdere graadverlaging der doorsnede van 

 n°. 54 niet voordoen als n = 4 is. Voor grootere waarden van 

 n doet die graadverlaging zich o. a. voor als alle gegeven lijnen 

 evenwijdig aan een zelfde vlak V loopen en de algebraische som 

 der afstanden tot de projecties der gegeven lijnen op V voor ieder 

 punt van V de waarde C heeft 2 ). Voor n = 5 , G of 8 is dit het 

 eenige geval van verdere graadverlaging. Voor n = 7 heeft men 

 verdere graadverlaging ook als drie gegeven lijnen evenwijdig aan 

 een vlak V loopen en zich daarop als een gelijkzijdige driehoek met 

 een hoogte C projecteeren en de vier andere gegeven lijnen de op- 

 staande ribben van een parallelopipedum vormen; in dat geval is 

 de lijn in het oneindige van V een 14-voudige lijn van het opper- 

 vlak (voor willekeurige hoogte van den gelijkzijdigen driehoek een 

 2 (4) 2 = 12-voudige lijn). 



') Hier moet men natuurlijk ook liet geval inhegrijpen , dat een groep slechts uit étn 

 stelsel van evenwijdige lijnen in evenwichtsligging bestaat. 



') Voor /! = 4 wordt dan de graad van het geheele oppervlak verlaagd. 





