DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 59 



§ 9. Het oppervlak voor twee gegeven lijnen. 



50. A 1 g e m e e n e beschouwingen. 



Bij het oppervlak, dat de m. pi. is der punten, waarvan de 

 som der afstanden tot n gegeven lijnen standvastig is, vormt het 

 geval n = 2 in sommige opzichten een uitzondering, waarom we 

 dit geval nog eens afzonderlijk en wat uitvoeriger willen behandelen. 



Zij 2k de kortste afstand der niet evenwijdig onderstelde gegeven 

 lijnen l x en l 2 en zijn K x en K 2 de eindpunten van den kortsten 

 afstand. Dien kortsten afstand nemen we als z-ns, van een recht- 

 hoekig assenstelsel, terwijl we de x- en y-as door het midden O 

 van den kortsten afstand nemen gelijke hoeken makend met de 

 gegeven lijnen. Is 2 a de hoek tusschen de gegeven lijnen, dan 

 hebben die tot vergelijkingen 



; ( 3=1', I 2= k, 



'1 I '•■> i 



\ y = xtya, ■ \y = — xtya. 



De vergelijking van het oppervlak is dan 

 Y j {xsin et — y cos af -f (* — kf \ + 



-f y i o* «'» * 4- y co * «) 2 -f (* -f- ^) 2 1 = 6 '> 



of in rationalen vorm 



4 {xy sin 2 « + 2 z£) 2 — 4 6 72 (« 2 «m 2 a -\-y?cos 2 a, -f * 2 -[- £ 2 ) -f- 6' 4 = 0. 



Het oppervlak is van den 4 den graad met de lijnen in het on- 

 eindige van yz- en a?2-vlak als dubbellijnen. Het heeft op ieder 

 der gegeven lijnen twee kegelpunten , D x en D\ op l x , D 2 en D' 2 

 op l 2 . De coördinaten van D^ zijn 



Yc 2 —i¥ Yc 2 — iF 2 

 x= , y = - > z = /c, 



2 sin a 2 cos a 



YC 2 4/P 



enz. De kegelpunten op /. en /., zijn op afstanden 



sin 2 a 



van K x resp. iT 2 verwijderd. Zij zijn bestaanbaar als 6'^>2/', 

 onbestaanbaar als C<C2k is. Dit alles is ook meetkundig gemak- 

 kelijk in te zien. 



Door l x gaan twee isotrope kegelsneeraakvlakken n { en u\, die 

 het oppervlak volgens door D x en Z)^ gaande kegelsneden aan- 

 raken; evenzoo door L 2 de kegelsneeraakvlakken u 2 en u' 2 . De 

 aan den bolcirkel rakende lijnen in het oneindige dier vlakken 

 noemen we m x , m' x , m 2 en ///.,'. De dubbellijnen in het oneindige 

 van het oppervlak zijn de bestaanbare verbindingslijnen der onbe- 



