60 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



staanbare punten {m 1 m 2 ) en (m\ m 2 ) en der punten (m l m 2 ) en 

 {m\ m 2 ). Deze vier punten zijn klempunten der dubbellijnen. Door 

 ieder dier klempunten, b.v. door (m< m 2 ), gaan twee kegelsneden 

 van aanraking, die in het klempunt dezelfde raaklijn hebben, nl. 

 de snijlijn der vlakken v x en u 2 ; in het klempunt zijn de twee 

 raakvlakken tot het vlak door de lijn {ji x u 2 ) en de dubbellijn 

 samengevallen. 



57. Het oppervlak is een b ij z o n d e r K v M m e r 's c h 

 oppervlak. 



De vergelijking van een oppervlak van Ktjmmer met 16 kegel- 

 punten en 16 kegelsneeraakvlakken kan in den volgenden vorm 

 gebracht worden: 



\X 1 *+X 2 *+X s *+X*+2a{Z a X B +X L X é )+2ô(X B X 1 +X % X 4 ) + 

 -f 2c(X 1 X 2 -f- X 3 X 4 ) j 2 =1 6(ö 2 + ó 2 + c 2 — 2aöc— \)X X X 2 X Z X 4 x ), 



waarin X 15 X 2 ,X 3 enX 4 lineaire functies der coördinaten zijn. De 

 vier vlakken X x = , enz. vormen een GöPEi/sch tetraeder van 

 kegelsneeraakvlakken, d. w. z. een tetraeder, waarvan de hoek- 

 punten geen kegelpunten zijn. 



Bij ons oppervlak vormen de kegelsneeraakvlakken u x , u\ , u 2 en u' 2 

 zulk een tetraeder van Göpel, zooals uit het volgende blijkt. De 

 irrationale verg. van het oppervlak luidt 



j/ v^ u\ -\- ]/ u 2 u' 2 = C, 



waarin : 



u x = xsina. — y cos et -j- i (z — k), 

 ii x = x sin a — y cos a — i {z — k), 

 u 2 =. x sin a -j- y cos a, -\- i (z -f- k) , 

 u' =. x sin a -j- y cos et, — i (z -f- k). 



In rationalen vorm wordt die verg. 



Dar 



aar 



dus 



{u x n\ -\- u 2 u' 2 — 6' 2 ) 2 = 4 u x u\ u 2 u' 2 . 

 u 1 — u\ — u 2 -j- n' 2 = — 4>ik, 



C 2 



° 2 = ~~ Tö¥ (?/l — w ' 1 ~~ H + u '^ 



') Zie b.v. Pascal-Sciiepp, Repertorium der höh. Math. II, S. 300. 



