62 OYER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



Be vier verbindingslijnen van op verschillende gegeven lijnen ge- 

 legen kegelpunten liggen op ons oppervlak, dat langs die lijnen 

 door vlakken evenwijdig aan den koristen afstand der gegeven lijnen 

 wordt aangeraakt; de vier lijnen vormen een scheeven vierhoek, 

 die zie h op een vlak loodrecht op den kortst en afstand als een 

 rechthoek projecteert, die voor C >> 2 k bestaanbaar, voor C •< 2 k 

 onbestaanbaar is. 



De doorsnede met het vlak B l D 2 E degenereert in twee samen- 

 vallende kegelsneden , zoodat dit vlak kegelsneeraakvlak is. De 

 kegelsnede van aanraking degenereert in B 1 B 2 en de lijn in het 

 oneindige. Alleen langs eerstgenoemde lijn heeft eigenlijke aan- 

 raking plaats, terwijl de tweede lijn dubbellijn is. Dientengevolge 

 telt het vlak B 1 B 2 E voor twee kegelsneeraak vlakken l ). 



Ten slotte is nog het vlak in het oneindige een viermaal tellend 

 kegelsneeraakvlak. Immers daar de kegelsnede van aanraking uit 

 twee dubbellijnen bestaat en de aanraking dus overal oneigenlijk is 

 telt het vlak 2. 2 = 4-maal 2 ). 



Op deze wijze vindt men naar behooren 4. 1 -f- 4. 2 -}- 1. 4 = 16 

 kegelsneeraak vlakken. 



e 



59. De 10 kegelpunten van het oppervlak. 



Het oppervlak heeft vier gewone kegelpunten, ni. de punten 

 B 1 , D\ , B 2 en B' 2 der gegeven lijnen. 



De overige kegelpunten zijn te zoeken op de dubbellijnen in het 

 oneindige. Om een eindig aantal kegelpunten te verkrijgen moet men 

 een kegelpunt niet definieeren als een punt, waarin iedere er door 

 heen gaande lijn twee snijpunten werpt (aan welke definitie ieder punt 

 van een dubbellijn voldoet), maar als reciprook staande tegenover 

 een vlak , waarvan de doorsnede met het oppervlak in twee samen- 

 vallende kegelsneden ontaardt 3 ), dus als een punt, waarvoor de 

 omhullende van door dat punt gaande raakvlakken aan het opper- 

 vlak (een kegel van de 4 de klasse) in twee samenvallende kegels 

 van de 2 de klasse ontaardt. 



Een willekeurig punt van een dubbelreehte, als reciprook tegen- 



*) Immers iedere lijn van een kegelsneeraakvlak is een dubbelraaklijn van het opper- 

 vlak. Bij een lijn van het vlak Z>, B % E wordt een der beide aanrakingen oneigenlijk 

 uitgevoerd, waarom die lijn voor twee samenvallende dubbelraaklijnen telt. 



2 ) Iedere lijn van bet vlak in het oneindige voert twee oneigenlijke aanrakingen aan 

 het oppervlak uit en telt dus voor vier samenvallende dubbelraaklijnen. 



3 ) Zulke vlakken kunnen, als het oppervlak niet uit twee samenvallende gedeelten 

 bestaat, slechts in eindig aantal aanwezig zijn. Ditzelfde geldt natuurlijk voor de punten, 

 die er reciprook tegenover staan. 



