DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 03 



over een willekeurig vlak door een dubbel rechte staande, voldoet 

 aan die definitie niet. Wel echter een klenipnnt van een dubbel- 

 lijn, als reciprook staande tegenover een kegelsneeraakvlak door 

 een dubbellijn, waaruit tevens blijkt, dat ieder der vier klem- 

 punten voor twee kegelpunten te tellen is *) ; de omhullende der 

 raakvlakken door een klempunt van een dubbellijn degenereert in 

 de dubbeltellende dubbellijn en de dubbeltellende snijlijn van niet- 

 toegevoegde isotrope kegelsneeraakvlakken, die door het klempunt 

 gaat. Laatstgenoemde snijlijn staat reciprook tegenover een op het 

 oppervlak gelegen verbindingslijn van twee kegelpunten. Evenals 

 die vier verbindingslijnen vormen ook de vier snijlijnen van niet- 

 toegevoegde isotrope kegelsneeraakvlakken een scheeven vierhoek. 



Plet snijpunt E der beide dubbellijnen is een uniplanair twee- 

 bladig punt van het oppervlak. De beide bladen door dit punt 

 raken aan het oneindig verre vlak en doorsnijden elkaar volgens 

 de beide dubbellijnen. Het punt is dus zoowel voor de eene 

 als voor de andere dubbellijn een uniplanair punt en dus als 

 twee samenvallende klempunten en bijgevolg als vier samen- 

 vallende kegelpunten te beschouwen; dit laatste is daarmede in 

 overeenstemming, dat het snijpunt der dubbellijnen reciprook tegen- 

 over het vlak door de twee dubbellijnen staat. De omhullende 

 der raakvlakken door E degenereert in de beide dubbeltellende 

 dubbellijnen. 



Naar behooren vinden we dus voor het aantal kegelpunten 

 4. 1 +4. 2 -f 1.4= 16. 



GO. De configuratie der singuliere punten en vlakken. 



Bij een algemeen Kummer'scIi oppervlak vormen de 10 singu- 

 liere punten en de 10 singuliere vlakken een 1 ö 6 configuratie. 

 Door ieder punt gaan vlakken , in ieder vlak liggen punten ; 

 de singuliere punten in een singulier vlak liggen op de kegel- 

 snede van aanraking; de singuliere vlakken door een singulier 

 punt raken aan den kwadratischen raakkegel in dat punt. 



Bij ons oppervlak is de configuratie blijkens het voorgaande aldus 

 gewijzigd: 



Van de 16 kegelpunten liggen er 2 op ieder der gegeven lijnen, 

 terwijl er in ieder der 4 Jcïempunten can de dubbellijnen 2 kegel- 

 punten en in het snijpunt der dubbellijnen 4 kegelpunten samen- 

 vallen. Van de 16 kegelsneeraakvlakken gaan er 2 dour ieder 



') In n°. 63 en 05 kan uien zien hoe twee kegelpunten zich tot een klempunt ver- 

 eenigen. 



