64 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



der gegeven lijnen, nl. de door die lijnen gaande isotrope vlakken, die 

 de dubbellijnen in de kien/punten snijden en wel zoo , dat door ieder 

 klem/punt 2 van die vlakken gaan; door ieder der dubbellijnen 

 gaan 2 dubbeltellende kegelsneeraakvlakken , die de gegeven lijnen 

 in kegelpunten snijden en iveer zoo, dat door ieder kegelpunt 2 

 van die vlakken gaan; de 4 overige kegelsneeraakvlakken vallen 

 in het vlak in het oneindige samen. 



Hieruit blijkt, dat ons oppervlak een wet zich zelf reeiproke 

 specialiseering van het oppervlak van Kummer en dus van de vierde 

 klasse is. 



61. Rechte 1 ij n e n van het oppervlak. 



In n°. 58 is gebleken, dat de vier verbindingslijnen van op ver- 

 schillende gegeven lijnen gelegen kegelpunten geheel op het oppervlak 

 liggen. Men bewijst gemakkelijk, dat als C^O is deze vier lijnen 

 en de dubbellijnen in het oneindige de eenige rechte lij tien van het 

 oppervlak zijn.. 



Immers- op een willekeurige rechte lijn /. voldoen de op het 

 oppervlak gelegen punten aan de vergelijking: 



\Zs x s\ 4- }/s 2 s 2 = C, 



waarin s { , s\ , s 2 en s' 2 de met bepaalde coëfficiënten vermenig- 

 vuldigde afstanden tot de snijpunten van / met de door l x en l 2 

 gaande isotrope vlakken zijn. Wil l op het oppervlak liggen, dan 

 moet bovenstaande verg. op / een identiteit zijn, waarvoor noodig 

 is dat de beide wortelvormen rationaal zijn. Nu is s l s\ alleen dan 

 een zuiver vierkant als de punten s l = en s\ = samenvallen, 

 dus als / de gegeven lijn l x snijdt. Evenzoo moet / de lijn l 2 

 snijden. 



Maakt nu / met l x een hoek ct { en met l 2 een hoek a 2 en zijn 

 b l en b 2 de afstanden van een willekeurige punt van / tot de snij- 

 punten van / met l x en l 2 , dan moet, wil / geheel op het opper- 

 vlak liggen , identisch voldaan zijn aan 



+ b x sin ct y + b 2 sin u 2 = C. 



Hiervoor is in de eerste plaats noodig , dat a t = u 2 is , hetgeen 

 alleen het geval is als het snijpunt van / met l x even ver van K x 

 verwijderd is als het snijpunt van / met l 2 van K 2 , waarin K x 

 en K 2 de uiteinden van den kortsten afstand van l x en l 2 voor- 

 stellen. Bovendien moet het snijpunt van / met / x (/ 2 ) op een 

 afstand C van l 2 (/ x ) verwijderd zijn, dus in een kegelpunt van 



