DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 65 



/j (/ 2 ) vallen, waaruit blijkt dat / de verbindingslijn van twee 

 kegelpunten zijn moet. 



Cr2. R a a k k e g e 1 s der kegelpunten. 



In n°. 18 is gebleken, dat de raakkegel in een opeen gegeven 

 lijn liggend kegelpunt door een vlak loodrecht op die gegeven lijn 

 gesneden wordt volgens een kegelsnede , . die een harer brandpunten 

 op de gegeven lijn heeft. 



Voor het oppervlak voor n — 2 bewijst men gemakkelijk, dat 

 als de kegelpunten bestaanbaar zijn de doorsnede van den raakkegel 

 met een e lak loodrecht op de gegeven lijn door het kegelpunt een 

 ellips is. Immers is D l het beschouwde kegelpunt, dan liggen 

 de lijnen D l B 2 en B x D' 2 geheel op het oppervlak, dus ook op 

 den raakkegel. Langs de lijnen D x D 2 en B x U 2 heeft het opper- 

 vlak en dus ook de raakkegel een raakvlak, dat loodrecht op het 

 a'y-vlak staat. Een vlak V loodrecht op de gegeven lijn D x 1) \ 

 snijdt B x D 2 in een punt F, D x I)' 2 in een punt F' en den 

 raakkegel volgens een kegelsnede door F en F' , waarvan de raak- 

 lijnen in F en F' loodrecht op het xg-v\nk staan en dus even- 

 wijdig loopen, m. a. w. FF' is middellijn dier kegelsnede. Nu ligt 

 het snijpunt van V met D x D\ , d. i. een der brandpunten van 

 de kegelsnede, tusschen de beide evenwijdige raaklijnen in, hetgeen 

 niet bij een hyperbool, maar alleen bij een ellips voorkomt 1 ). 



63. S ï e i n e r's c h oppervlak voor C = 2 Tc. 



Is C=2k, dan vallen op ieder der gegeven lijnen de beide 

 kegelpunten in het voetpunt van den kortsten afstand samen. De 



l ) Dat de doorsnede een ellips is laat zich ook gemakkelijk uit de verg. van het 

 oppervlak aantoonen. Neemt men \ als .ras, den kortsteu afstand van / 2 en l. A als 

 :-as, dan wordt de verg. van het oppervlak: 



| (x 2 — y') sin 2 2 cc — xy sin 4 cc - 4 zk + 4 k 1 — C 2 | 2 — 4 C 2 (y 1 + z 1 ) = 0. 

 De coördinaten van een der kegelpunten op /, zijn: 



1 i: 2 — ik 2 n 



sni 2, cc 

 en de verg. van den raakkegel in het kegelpunt: 



I (xsin2« — y eosl cc)V C 2 — il? — 2zk + 4k 2 — C 2 | 2 — C 2 (y 2 + z') = 0. 

 De doorsnede van dien kegel met een vlak door den top loodrecht op de a>as heeft tot 

 vergelijking 



y 2 (C 2 sin 2 2 c. + 4 k 2 cos 2 2 cc) + z 2 (C 2 — 4 7,- 2 ) — 4 ;/ 1 k cos 2 cc \Z(? — ±k l = 0, 

 welke verg. twee onbestaanhare rechten voorstelt. Hieruit volgt, dat voor C>2fc de 

 raakkegel door vlakken loodrecht op de r-as volgens ellipsen gesneden wordt. Verder 

 volgt uit de verg. van den raakkegel, dat de raakkegel niet degenereert ah C can 

 en 2 k verschilt. 



Verliand. dei- Kon. Akad. v. Wetensch. lEe.ste Sectie) Dl. IX. E 5 



