06 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



vier op het oppervlak gelegen lijnen D 1 D 2 , enz. zijn nu alle langs 

 den kortsten afstand K x K 2 der gegeven lijnen samengevallen. Deze 

 korts f e afstand is een dubbellijn ran het oppervlak geworden, die 

 tusschen K 1 en K 2 geïsoleerd verloopt en daar buiten de door- 

 snede van twee bestaanbare bladen is; de punten K x en K 2 , waarin 

 2 kegelpunten zijn samengevallen , zijn kien/punten van de dubbel- 

 lijn K x K 2 . 



Het oppervlak heeft nu dus drie door één punt E gaande 

 dubbellijnen, ieder met twee klenipunten. Door het punt ÏJ gaan 

 drie bladen van het oppervlak , die elkaar volgens de dubbellijnen 

 doorsnijden. We hebben nu dus een Steiner'sc// oppervlak van 

 den 4 den graad en de 3 de klasse l ) voor ons , een niet niet zich zelf 

 reciproke specialiseering van het oppervlak van Kummer. De klasse- 

 verlaging ontstaat doordat het snijpunt der drie dubbellijnen zich 

 van de omhullende der raakvlakken heeft afgesplitst. 



Van de 16 kegelpunten vallen er 2 in ieder der 6 klenipunten 

 der dubbellijnen, 4 in het snijpunt der dubbellijnen. Van de 1(5 

 kegelsneeraakvlakken zijn er 4 enkelvoudig, de isotrope vlakken 

 door de gegeven lijnen, terwijl er in ieder der drie vlakken door 

 twee dubbellijnen 4 kegelsneeraakvlakken zijn samengevallen. 



64. Hyperbolische paraboloïde voor C= 0. 



Is C=0, dan degenereert de m. pi. in het dubbeltellende 

 oppervlak 



xy sin 2 et -\- 2 zk = 0. 



Hieruit blijkt, dat de m. pi. der punten, waarvan de afstanden 



tot twee gegeven lijnen gelijk zijn , een gelijkzijdige hyperbolische 

 paraboloïde is, waarvan de as langs den kortsten afstand en de 

 top in het midden van den kortsteti afstand der gegeven lijnen valt. 



') Dat we een oppervlak van Steiner hebben blijkt ook uit de vergelijking. Zijn 

 X t = 0, X 2 =0, X s =0 en X 4 =0 de vergelijkingen van de vier eigenlijke kegel- 

 sneeraakvlakken van het STEiNEii'sche oppervlak, dan luidt haar verg. in irrationalen 

 vorm 



Vx, + \/x, + \/x 3 + Vx u = 0. 



De verg. van ons oppervlak is voor C=2k: 



x 1 y 1 sin* 2x-\-4:xyzk sin 2 x — 4 k* (x 2 sin 1 x -\- y 2 cos 1 x) = 0, 

 hetgeen in den volgenden irrationalen vorm gebracht kan worden : 



V | x sin x — y cos x + i (z — ft) | -f" \/ \ — x sin a -f- y cos x -f- i (z — k) j + 

 + V I x sin a -j- tl cos x -\- i (z -f- k) | -\- \/ \ — x sin x — y cos x -(- i (z -j- k) | = 0. 



