DER PUNTEN IN HET PLATTE VLAK, ENZ. 69 



De volledige omhullende van de projecties der kegelsneden heeft 

 tot vergelijking 



(4 x 2 sin 2 et -f 4 h 2 — C 2 ) (4 x 2 sin 2 a+A<z 2 — C 2 ) = , 



zoodat die omhullende behalve uit de projecties van D x D 2 en 

 D\ D'o nog uit de ellips 



4x 2 sin 2 a + 4z 2 =C 2 



bestaat. De vorm dier ellips, die door de projecties der kegel- 

 punten gaat, hangt alleen van den hoek der gegeven lijnen af; de 

 kleine as der ellips is gelijk aan de contante C. Terwijl de rechten 

 van den schijnbaren omtrek alleen bestaanbaar zijn voor C^>2k, 

 is de ellips steeds bestaanbaar. 



Is C > 2 k, dan is de doorsnede met het vlak y = een ellips, 

 waarvan de assen langs de x- en de 2-as vallen. Verschuift met het 

 vlak der doorsnede, dan wordt de ellips gerekter, terwijl hare 



\y c 2 4/t- 2 



assen draaien. Is het vlak der doorsnede y = — . , dan 



2 cos a. 



is de ellips in de dubbele lijn D i D\ overgegaan om bij nog 



verdere verschuiving in een hyperbool te veranderen , waarvan de 



asymptoten meer en meer in verschillende richting uiteen gaan. 



Voor grooter wordende waarden van y. begint de projectie der 



C 

 hyperbool meer en meer op de twee evenwijdige lijnen x= + - — : — , 

 JL l j o j — 2 sin x 



dit zijn de raaklijnen van den schijnbaren omtrek in de uiteinden 

 van de groote as, te gelijken (zie fig. 2). 



Is C<C,2k, dan zijn alle doorsneden hyperbolen. Voor y x = 

 raakt die hyperbool den schijnbaren omtrek in de uiteinden van 

 de kleine as. Neemt y y toe , dan draaien de asymptoten in dezelfde 

 richting, echter zoo dat de asymptotenhoek voortdurend grooter 

 wordt (zie tig. 4). 



Is C=2k, dan is steeds een der asymptoten van de hyperbool 

 de ~-as. De asymptotenhoek is nul voor y t = en neemt toe als 

 y x toeneemt (zie fig. 3). 



67. Andere stelsels van kegelsneden op het oppervlak. 



Behalve de doorsneden met vlakken evenwijdig aan het xz- of 

 yz-v\a,k heeft het oppervlak nog andere stelsels van kegelsneden, 

 ni. de doorsneden met vlakken door een gegeven lijn. Zulk een 

 doorsnede, b.v. met een vlak door l x , heeft dubbelpunten in de 

 beide kegelpunten van / { en in twee punten in het oneindige (de 



