70 OVER DE MEETKUNDIGE PLAATS 



snijpunten van het vlak der doorsnede niet de dubbellijnen in het 

 oneindige) en bestaat dus uit twee hyperbolen wet evenwijdige 

 asymptoten 1 ). Is C ^> 2 />■ en zijn dus de snijpunten in het ein- 

 dige der hyperbolen bestaanbaar, dan zijn de stukken der hyper- 

 bolen tusschen die snijpunten (welke stukken te zamen een lens- 

 vorniige figuur vormen) de doorsnede met het tetraedervormige blad. 

 Gaat in het bijzonder het vlak door den kortsten afstand dei- 

 gegeven lijnen , m. a. w. gaat het door het snijpunt der dubbel- 

 lijnen in het oneindige, dan gaan de hyperbolen in parabolen 

 over. Deze parabolen hebben den kortsten afstand der gegeven 

 lijnen als gemeenschappelijke as. Voor 6' > %h hebben ze bestaan- 

 bare snijpunten en hunne openingen naar verschillenden kant ge- 

 keerd, voor C <C 2 /• onbestaanbare snijpunten en hunne openingen 

 naar denzelfden kant gekeerd 2 ). 



G8. Doorsneden evenwijdig aan het xy-v\&k. 



Om een nog duidelijker voorstelling van het oppervlak te vor- 

 men hebben we ook eenige doorsneden met vlakken evenwijdig 

 aan de gegeven lijnen geprojecteerd op het xy-\hk in tcekening 

 gebracht 3 ). De verg. van de projectie der doorsnede met het vlak 

 z = z 1 luidt : 



4 x 2 y 2 sin 2 2 a — 4 C 2 (x 2 sin 2 a -f- y 2 cos 2 a) -\- ' 



-f- 1 G xyz x Je sin 2 a -f- (C 2 — 4 *, 2 ) (C 2 — 4 Ie 2 ) = 0. 



Alle doorsneden raken aan de vlakken evenwijdig aan de £-as en 

 gaande door de zijden van den op het oppervlak gelegen schee ven 

 vierhoek , zoodat de projecties dier doorsneden omhuld worden 

 door de zijden van den rechthoek, die de projectie van dien 

 scheeven vierhoek op het xy-v\ak is; men vindt gemakkelijk, dat 

 deze vier lijnen de volledige omhullende, dus den geheelen schijn- 

 baren omtrek van het oppervlak vormen. Alleen als C >> 2 /• is, 

 is die schijnbare omtrek bestaanbaar (fig. 5); voor C <C 2/: vullen 

 de projecties der doorsneden het geheele xy-v\ak (fig. 7). 



De projecties hebben alle den oorsprong als middelpunt. Verder 



') Is C = 2h en dus de m. pi. een oppervlak van Steiner, dan bestaat ook de door- 

 snede met een willekeurig raakvlak uit twee hyperbolen met evenwijdige asymptoten. 



2 ) De vergelijkingen van de projecties dier parabolen op het xz-vlak luiden: 



i .r 1 sin* x + (2k + C)(2z — C) = 0, 

 4 x 2 sin* * -f- (2 k — C){2z + C) = 0. 



3 ) Men kan van deze projecties zooveel punten construeeren als men wil door een 

 stelsel van lijnen evenwijdig aan de eene gegeven lijn te snijden door een stelsel van 

 lijnen evenwijdig aan de andere gegeven lijn. 



