L'équation finale. 



§ 1. On appelle équation finale le résultat que l'on ob- 

 tient en éliminant n — 1 variables entre a équations homogènes à 

 n -}- n i variables. 



Pour opérer cette élimination, nous multiplierons les n. -\- 1 

 variables qu'on veut garder, par un facteur quelconque, qu'on 

 considère comme une nouvelle variable. En ordonnant les 

 équations données suivant les arguments consécutifs des n 

 autres variables, on obtient n équations homogènes dont les coef- 

 ficients sont des fonctions homogènes des n x -\- 1 variables qu'on 

 veut garder, ('es coefficients sont du premier degré par rapport 

 aux coefficients des équations données. Leur degré par rapport aux 

 variables qui y entrent, est égal à l'exposant de la variable auxili- 

 aire dans le terme dont fait partie le coefficient considéré. 



En éliminant entre ces n équations homogènes les n variables 

 explicites, on obtiendra l'équation finale des équations données sous 

 la forme du résultant de n équations homogènes à n variables. Si 

 les équations données sont respectivement des degrés g x , g 2 , . . . ,g n , ce 

 résultant est une fonction homogène des coefficients de ces équations 



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du degré g l ç 2 ff n ^ — > tandis que son degré par rapport aux 



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 coefficients de la première équation est g<*g* . . . .g,,, par rapport 

 aux coefficients de la deuxième g l g. â . . . .g,„ et ainsi de suite. 



Par rapport aux variables qui y entrent, ce résultant est du 

 degré g { g 2 - ■ ■ ■ <]>,, comme on le démontre en considérant le poids 

 du résultant de n équations homogènes à n variables *). 



Au lieu de développer le résultant des n équations considérées, 

 il serait plus aisé de former immédiatement l'équation finale or- 

 donnée suivant les arguments consécutifs d'une fonction homogène 

 (U's «j -(- f variables restantes. On peut y parvenir d'après la 



') Voir: G. Salmon, Leçons d'Algèbre Supérieure, n" 77. 



