8 L'ÉQUATION FINALE. 



§ 5. Ces v 2 systèmes de racines s' sont indépendants. 



Pour le démontrer, multiplions-les respectivement par les arbi- 

 traires / p /.,,.... /„,, et ajoutons-les; les fonctions linéaires homo- 

 gènes ainsi obtenues, égalées à zéro, forment v t équations linéaires 

 homogènes t. 



Ces équations peuvent se réduire aux deux groupes suivants: 



Groupe T, se composant de a l équations dont les coefficients ne 

 renferment pas d'éléments a, 



Groupe JI, se composant de a 2 équations dont les coefficients 

 ne renferment pas d'éléments b. 



Multiplions les équations de chaque groupe successivement par 

 les arguments consécutifs d'une fonction homogène — respective- 

 ment des degrés /• — / et /■ — m — des trois variables ce, y, z, où 

 x,y,z sont des grandeurs arbitraires, et ajoutons les résultats de 

 chaque groupe ; on obtiendra les deux équations 



T% = o , T> = o (8), 



dans lesquelles la grandeur T représente une fonction homogène 

 du degré /• — / — m des trois variables x,y,z, dont les coefficients 

 seront les v 9 arbitraires /. 



Si les systèmes de racines s' n'étaient pas indépendants, on 

 pourrait satisfaire aux équations (8) — x,y,z étant arbitraires — 

 par un système de valeurs t' qui ne se compose pas de zéros seuls. 

 Ce système de valeurs t' constituerait un système de racines des 

 équations t. 



Comme on ne saurait satisfaire aux équations (8) indépendam- 

 ment des valeurs des variables x,y,z, qu'en choisissant pour les 

 arbitraires / des zéros, il n'existe pas de système de racines pour 

 les équations /. 



Par conséquent, les v 2 systèmes de racines s' sont indépendants. 



§ G. Les déterminants de l'assemblant des systèmes de racines 

 s' sont premiers entre eux. 



En effet, s'ils avaient un commun diviseur qui fût une fonction 

 des coefficients des fonctions <ƒ et %, il existerait dans le cas où 

 les coefficients auraient des valeurs qui annuleraient le commun 

 diviseur, au moins un système de racines /' pour les équations /. 



("est impossible, comme il a été démontré au paragraphe pré- 

 cédent; donc, il est de môme impossible que les déterminants de 

 rassemblant des systèmes de racines s' aient un commun diviseur, 

 fonction des coefficients des fonctions </ et %. 



§ 7. En subsliluanl les valeurs 



