L'EQUATION FINALE. I ] 



§ 11. Ou peut satisfaire à v — /■ — 1 ('([nations linéaires homo- 

 gènes indépendantes à. v x variables par v^ — tf-j-jfc-f-1 systèmes de 

 racines indépendants entre eux. Il existe déjà pour les v — k — 1 

 équations choisies v 2 systèmes de racines qui satisfont à toutes 

 les équations 0. Il reste encore t^ — ^' — [— /• — [— 1 — y„ou£-f"l — lm 

 systèmes qui doivent satisfaire aux v — k — 1 équations choisies 

 et non à toutes les autres. 



§ 12. On évalue un pareil système de valeurs s', en égalant à 

 zéro v 2 ~\-k — lm des indéterminées s ; les v x — (v.,-\-k — lui) ou 

 o — k indéterminées restantes s'obtiennent par la résolution des 

 v — k — 1 équations linéaires homogènes choisies. De cette manière 

 on obtient les autres grandeurs 6' dans la forme de déterminants 

 du degré v — /• — 1. 



Ensuite, on doit substituer les valeurs trouvées dans tontes les autres 

 fonctions pour obtenir les coefficients de l'équation à deux variables. 



Cette substitution s'effectue aisément. 11 s'agit d'évaluer les 

 valeurs des variables de n — 1 équations linéaires homogènes à n 

 variables et de substituer les valeurs trouvées dans une fonction 

 linéaire homogène des mêmes variables. Le résultat est, connue 

 on sait, le déterminant formé des coefficients de la fonction donnée 

 et de ceux des équations données. Dans le cas en question le 

 résultat est donc un déterminant du degré v — /•. 



L'équation à deux variables ainsi obtenue est alors du degré k 

 et ses coefficients sont des déterminants du degré v — /-. 



§ 13. Il est clair que l'équation trouvée sera l'équation finale, 

 si l'on prend pour /■ la valeur la plus petite, c'est-à-dire ////. 



Les coefficients de l'équation finale sont dans ce cas des déter- 

 minants du degré v — lm ou f o~ J — ^' n - 



Comme il a été remarqué au § 9, tous les déterminants contenus 

 dans l'assemblant qui fournit les coefficients de l'équation finale, 



sont divisibles par un même facteur du degré v 2 = ( „ "\ 



Ce facteur est un déterminant de l'assemblant des r._, systèmes 

 de racines s' qui satisfont à toutes les équations 6, car cet assem- 

 blant est supplémentaire à tout assemblant qu'on peut former avec 

 v — lm lignes quelconques de l'assemblant de la fonction F. 



Nous avons déjà vu (§ 1) (pie le degré des coefficients de 

 l'équation finale doit se réduire à 2-j-m, Les coefficients de 

 l'équation trouvée doivent donc être divisibles par un commun 



