1G L'ÉQUATION FINALE. 



DEUXIÈME MÉTHODE, PAR LAQUELLE ON OBTIENT 

 LES MÊMES RÉSULTATS. 



§ 17, Comme il a été remarqué au § 8, les y équations ô sont 

 liées par lm relations linéaires indépendantes, quel que soit le degré 

 de la fonction F. Pour les équations Ç il existe donc lm systèmes 

 de racines p' indépendants. Il est clair qu'un ou plusieurs des 

 s\ sternes de racines p' doivent avoir la propriété que leurs éléments 

 sont proportionnels aux arguments consécutifs d'une fonction ho- 

 mogène du degré h à trois variables. 



Pour trouver un tel système de racines, formons //;/ systèmes de 

 racines p' indépendants dont lm — 1 éléments correspondant 

 aux termes de la fonction F qui ne renferment (pie deux des va- 

 riables, sont des zéros. De ces lm systèmes de racines p' on dé- 

 duira un autre système dont aucun élément ne s'annule, en les 

 multipliant respectivement par les coefficients indéterminés q v ç 2 , .... 

 q hll , et en ajoutant les produits. Les sommes ainsi obtenues for- 

 ment un système de racines pour les équations £ satisfaisant à la 

 condition citée. 



En divisant ces racines respectivement par les arguments consé- 

 cutifs d'une fonction homogène du desjré h à trois variables, on 

 obtient l'égalité de v proportions, d'où l'on peut éliminer les lm 



quantités q. Cette élimination pourra se faire de C, , . j ma- 

 nières, c'est-à-dire d'autant de manières qu'il y a de combinaisons, 

 lm -j- 1 à lm -f- 1, de v éléments. 



En effet, lm - 1 membres de cette égalité forment lm équations 

 linéaires homogènes entre les lm arbitraires q. L'élimination de 

 ces arbitraires fournit une relation entre les variables x, y, z et les 

 coefficients des équations (1). 



Pour obtenir une relation ne renfermant que deux variables, il 

 suffit de prendre de la susdite égalité lm ~ - 1 membres qui con- 

 tiennent seulement deux des trois variables x,i/,z. Comme dans 

 une fonction homogène du degré /• à trois variables le nombre des 

 termes <|ni contiennent seulement deux quelconques de ces variables, 

 est /■ 1, il faut que /• - 1 ne soit |>as inférieur à lm-\-1. 



Ainsi cette méthode, comme la première, donne lm pour la pins 

 petite valeur de /■. Pour cette valeur la relation trouvée est 

 L'équation finale. 



