20 L'ÉQUATION FINALE. 



par un même facteur du degré l-\-m, et formant ainsi trois 

 groupes de déterminants. 



2. Les déterminants du premier groupe sont divisibles par le 

 résultant des équations à deux variables que l'on obtient en posant 

 x égal à zéro dans les deux équations données; ceux du deuxième 

 groupe par le résultant des équations à deux variables que l'on 

 obtient en posant y égal à zéro dans les deux équations données, 

 ceux du troisième groupe par le résultant des équations à deux 

 variables que l'on obtient en posant z égal à zéro dans les deux 

 équations données. 



3. On peut ranger les déterminants des trois susdits groupes 

 de manière que les ternies correspondants sont divisibles par un 

 même facteur du degré v — lm--l—m, y compris le facteur 

 commun à tous les déterminants de l'assemblant considéré. 



4. Tous les coefficients d'une même équation linale sont divi- 

 sibles par un commun facteur du degré v -- l m — / — m, de 

 sorte que ces coefficients peuvent se réduire à des formes du 

 degré l -\- m. 



§ 20. Pour démontrer ces propriétés, prenons, outre les deux 

 équations homogènes données, l'équation générale du premier degré 

 à coefficients indéterminés, c'est-à-dire l'équation: 



c x x -j- c 2 y -J- c 3 z = o (42) . 



On obtiendra ainsi un système de trois équations homogènes 

 à trois variables dont on déterminera le résultant. 



Prenons à cet effet, pour le degré de la fonction F la valeur 

 l m, alors on obtiendra un assemblant dont les a { -j- a 2 premières 

 colonnes forment l'assemblant appartenant au système des deux 

 équations homogènes données. Le résultant des trois susdites équa- 

 tions s'exprime, comme on sait, par la formule: 



R =T^71>, (43) ' 



''•x — ".i '.i 



dans laquelle les symboles ont la signification connue x ). 

 En posant successivement dans cette formule 



(44), 



1. 



Cj = 1 , 



c 2 = 0, 



c 3 = 



2. 



c 1 = , 



c 2 = 1 , 



c s = 



3. 



e ] - , 



c 2 = 0, 



H = 1 



Voir: Théorie générale il'' l'élimination, ij 'J7. 



