4.2 L'ÉQUATION FINALE. 



tion homogène quelconque des valeurs qui forment un système de 

 racines de ces équations ! ). 



Il est clair que l'équation qui donne la solution de ce problème 

 est du degré </ 1 .ç 2 • • • • 9w s ^ l es n équations données sont respec- 

 tivement des degrés g v g%, ■ ■ ■ ■ g n > 



Pour le démontrer, égalons à un symbole quelconque la fonction 

 homogène à évaluer. Transportons ce symbole au premier membre 

 de Téo-alité obtenue, et mettons-le dans le coefficient d'un terme 

 qui a pour argument une seule variable. De cette manière on 

 obtient une équation homogène à u -j- 1 variables dont l'un des 

 termes renferme dans son coefficient le symbole introduit, divisé 

 par l'argument de ce ternie. 



Si l'on joint cette équation aux n équations homogènes données, 

 on obtient un système de n -\- 1 équations homogènes à n -j- 1 

 variables. Le résultant de ces équations, étant par rapport aux 

 coefficients de la dernière équation du degré g x g ....g n , 

 égalé à zéro, forme une équation qui est par rapport au symbole 

 introduit du degré g x g 2 .... g H . C. Q. F. D. 



En développant le premier membre de cette équation d'après 



les puissances ascendantes du symbole introduit, on verra que le 



degré des coefficients de ce développement diminue d'une unité de 



terme à terme. Si le symbole introduit représente une fonction 



du degré g ll+ \, le plus petit degré de ces coefficients sera 



n i » + 1 \ 



g t g 2 g n +iZ- et le plus grand g x g 2 g n + i S -. 



i 9k \ gK 



§ 32. La méthode exposée dans le paragraphe précédent four- 

 nit pour l'évaluation de la fonction cherchée une équation dans 

 laquelle le symbole introduit paraît implicitement dans des déter- 

 minants qui forment le premier membre de cette équation. 



Il est plus aisé de former immédiatement une équation qui est 

 ordonnée d'après les puissances ascendantes ou descendantes de ce 

 symbole. Les méthodes que nous avons appliquées pour trouver les 

 équations finales, conduisent à la solution de ce problème. 



Afin de démontrer cette assertion, représentons la fonction cher- 

 chée, si elle est du degré g n + i , par la g % %+\ puissance d'un symbole 

 quelconque que l'on peut regarder comme une nouvelle variable. On 

 obtient ainsi un système de n - - 1 équations homogènes à n ~\~ 2 



') Liouville a traité cette question, mais d'une autre manière, pour le cas où il y a 

 deux équations non-homogènes à deux variables. Voir: J. A. Serret, Cours d'Al- 

 ure. 



