Les systèmes do racines. 



§ 1. On appelle système de racines ou solution d'un sys- 

 tème de n équations homogènes à n -f- 1 variables % -j- 1 valeurs 

 différentes de zéro, qu'on peut substituer aux variables pour rendre 

 ces équations identiques. 



Afin d'obtenir des systèmes de racines, il faut construire l'équa- 

 tion finale entre deux quelconques des variables et les équations 

 terminales par lesquelles on peut évaluer les valeurs des autres 

 variables. En résolvant ces équations, on obtient en tout //, //., . . .//„ 

 systèmes de racines, si les u équations données sont respectivement 

 des degrés g v g 2 ,. . .g n . 



On sait que les systèmes de racines ainsi obtenus ne sont pas 

 pour chaque degré des équations données, indépendants entre eux. 



Nous nous proposons dans ce qui suit: 



1. de déterminer pour chaque degré des équations données le 

 nombre des systèmes de racines qu'on peut regarder comme indé- 

 pendants, et par conséquent le nombre des systèmes de racines 

 superflus; 



2. de constituer les équations par lesquelles on peut évaluer 

 les g* g 2 . ■ • g n systèmes de racines des équations données; 



3. d'indiquer quelques propriétés se rapportant à des systèmes 

 de racines qui ont deux ou plusieurs éléments communs; 



4. de signaler les relations qui lient les systèmes de racines 

 superflus aux systèmes de racines indépendants; et 



5. d'exprimer les systèmes de racines superflus en fonction des 

 systèmes de racines indépendants. 



§ 2. Avant d'entrer dans des détails, il nous semble utile de 

 rappeler les propriétés de la fonction homogène: 



F= 9l (D, + <p 8 <D 2 -f- <p 3 % H- + </„ *„ (1) 



qui se rapporte à un système de n équations homogènes à n -j- 1 

 variables : 



