LES SYSTEMES DE RA.CINJ 7 



colonnes, que nous appellerons l'assemblant des coefficients. 



Eu donnant aux coefficients s des fonctions 4> les valeurs propres 

 à éliminer un nombre de v — ^1^2 • • -On — 1 termes de la fonc- 

 tion F, on peut obtenir un total de ( , , j équations 



Vlft." • ■ 9n + V 



résultantes, contenant chacune comme variables g 1 g 2 • • • 9» ~f~ 1 

 arguments différents de la fonction F. 



La valeur j = g^ g 2 ... y /( conduit, comme on sait, aux équations 

 finales. 



Si l'on prend pour j des valeurs inférieures à g^g* ...//,„ on 

 obtient des équations résultantes qui contiennent en général plus 

 de deux variables. 



La plus petite valeur qu'on puisse donner à /', est le plus grand 

 degré des équations données; remarquons cependant «pu; quelques 

 valeurs v changent de signification, si l'on prend pour^' des valeurs 



n 



inférieures à *Lg K — n. C'est le cas avec v n et quelques autres valeurs 

 1 



v qui contiennent des coefficients binomiaux de puissances négatives. 



Les coefficients binomiaux de puissances négatives qui se présen- 

 tent dans les valeurs v, ne se rapportent pas à des relations liné- 

 aires entre les colonnes de l'assemblant de la l'onction F 1 ). Aussi 

 on ne s'en occupe pas, quand il s'agit de déterminer le nombre 

 total des relations linéaires indépendantes qui existent entre les 

 colonnes de l'assemblant de la fonction F. 



Nous verrons plus tard que la présence de coefficients binomiaux 

 de puissances négatives parmi les valeurs v, nous permet d'évaluer 

 le nombre des systèmes de racines superflus des équations données. 



§ 3. Prenons pour j une valeur qui n'est pas inférieure à 



Ey K — n; les déterminants de rassemblant des coefficients forment 



1 



les coefficients des équations résultantes découlant de la fonction F. 



Le nombre de ces déterminants est ( ). Ces détermi- 



Vi H ■ ■ ■ S»/ 

 nants sont divisibles par un commun facteur du degré v 2 — 2«? s -|- 



3» 4 — ... +(— iro— i)» n . 



Prenant^' =g 1 g 2 ■ ■ •//„> ou Qe trouve parmi les équations résultantes 

 qu'une seule équation qui contient deux variables désignées; cette 

 équation est, comme on sait, l'équation finale entre ces deux variables. 



Pour bien faire comprendre ce qui suit, nous rappelons la pro- 

 priété que les déterminants qui forment les coefficients d'une 



*) Comparer: Théorie générale de l'élimination (Verhandelingen dor Koninklijke 

 Akademie van Wetenschappen te Amsterdam [Eerste Sectie], deel VI, n° 7), § 72 et § 104. 



