LES SYSTÈMES DE RACINES. 9 



L'assemblant des systèmes de racines des équations don- 

 nées est supplémentaire à l'assemblant des coefficients. 



Pour démontrer ce théorème, substituons dans les équations résul- 

 tantes qui découlent de la fonction F les g ] g 2 . . . ç n systèmes de 

 racines des équations données. Chacune de ces équations fournit 

 9\9%' - - 9n équations linéaires homogènes entre les g x g 2 • • -9n ~h 1 

 coefficients de ces équations; En résolvant ces équations par rapport 

 aux coefficients on trouve que les déterminants de l'assemblant des 

 coefficients sont proportionnels aux déterminants supplémentaires de 

 l'assemblant des systèmes de racines des équations données. 



Les deux assemblants contiennent un nombre égal v de lignes, 

 tandis que le nombre des colonnes du premier déterminant esl 

 v l — v 2 -{- v g . . . . -f ( — l) w_1 v n , celui des colonnes du second 

 9i92' • • 9n> ensemble v, d'après la relation (4). 



Ces deux; assemblants sont donc réellement supplémentaires. 



§ 5. Si les g 1 g 2 . . . g n systèmes de racines qu'on obtient en 

 résolvant les équations finales sont tous différents, les lignes d< 

 l'assemblant des systèmes de racines sont liées par c x — ^9~\~ v 3 — • • • H 

 ( — l)" _l v n relations linéaires. Comme ce nombre est précisément 

 égal à v — g x g 2 - - .g n , on en conclut (pic les colonnes de cet assem- 

 blant sont indépendantes. 



C'est le cas, si l'on ne prend pas des valeurs pour j inférieures 



à Y.g K — n. 



i 



Si le plus grand degré des équations données est inférieur à ce 

 nombre, les g* g 2 ■ ■ ■ //„ systèmes de racines ne sont pas indépen- 

 dants. 



Prenant dans ce cas pour le degré de la fonction F le plus 

 grand degré des équations données, les lignes de l'assemblant des 

 systèmes de racines sont liées par un nombre /-, de relations liné- 

 aires indépendantes, où I>\ > v l - - v 2 -j- i> 3 — . . . -j- (— J)" -1 v n , 

 et par conséquent les colonnes sont liées par /=/ 1 — (v — g x g., . . .//„) 

 relations linéaires, d'après le § 56* de notre mémoire „Théorie 

 générale de l'élimination." On en conclut que le nombre des sys- 

 tèmes de racines superflus est égal à k. 



Remarque. Le théorème des assemblants supplémentaires est 

 encore applicable dans le cas où l'on prend pour j une valeur 



n 



inférieure à "Zg K — n, si l'on supprime de l'assemblant des systèmes 



de racines un nombre de k colonnes, qu'on peut regarder comme 

 dépendantes des autres colonnes. 



^> 6. Le théorème des assemblants supplémentaires donne le 



