10 LES SYSTÈMES DE RACINES. 



moyen de remplacer les coefficients des équations résultantes par 

 les déterminants de l'assemblant des systèmes de racines des équations 

 données. De cette manière on obtient les équations résultantes 

 exprimées par les g x g 2 ... g n systèmes de racines des équations 

 données. Les équations résultantes ainsi exprimées peuvent s'écrire 

 dans la forme des déterminants du degré g 1 g 2 . . . g n -\- 1 égalés 

 à zéro. 



Pour éviter des calculs compliqués, nous ne donnerons pas à j 

 des valeurs supérieures à g 1 g 2 ■ ■ • g„- 



Prenons j=g 1 g 2 . . . g n ; l'assemblant des systèmes de racines 

 contiendra un nombre de g x g 2 . . . g n -\- 1 déterminants qui renfer- 

 ment seulement les valeurs de deux variables désignées. Ces déter- 

 minants forment les coefficients de l'équation finale entre ces deux 

 variables. 



Nous verrons plus tard que tous ces déterminants ont pour 

 commun facteur le déterminant de l'assemblant des systèmes de 

 racines se composant des valeurs des mêmes variables, prenant 



3=9\9% • • • 9n— 1- 



Construisons pour cette valeur de ; une équation résultante qui 

 contient outre les g x g 2 . . . g n arguments de la fonction F composés 

 seulement de deux variables désignées, l'un des autres arguments; 

 le coefficient de ce dernier argument est le déterminant de l'assem- 

 blant des systèmes de racines qui ne renferme que les valeurs de 

 ces deux variables. 



Il est clair que ce déterminant s'annule dans le cas où l'équation 

 finale entre ces deux variables admet des systèmes de racines égaux. 



Prenant j <Cg^g 2 ■ • ■ On — 1> tous les déterminants de l'assem- 

 blant des systèmes de racines contiennent en général les valeurs de 

 plus de deux variables; dans des cas particuliers il peut arriver 

 que quelques-uns de ces déterminants s'annulent. 



§ 7. Pour éclaircir ce qui a été dit dans les paragraphes 

 précédents, prenons les deux équations homogènes du second degré 

 à trois variables: 



a i x 2 + «2 'V/ + H ' r ~ + a 4 f + «5 S z + «6 z * = °> ) 



("J • 



h ** + h w + h ** + h f + h y* -f h * 2 = °» \ 



Les coefficients de ces équations étant arbitraires, les quatre 

 systèmes de racines de ces équations — x i ,y i ,z i (i de 1 à 4) — 

 sont indépendants, parce que 2 n'est pas inférieur à g 1 -\-g 2 — »= 2. 



Prenant j = y, g 2 — 4, on peut former l'assemblant de la fonc- 

 tion F: 



