LES SYSTÈMES DE RACINES. 17 



Pour le démontrer, nous renvoyons aux démonstrations des 

 §2 — 9 de notre mémoire „L'équation finale." 



Si tous les déterminants de l'assemblant dv* coefficients s'annu- 

 laient, il existerait au moins un système de racines a satisfai- 

 sant à toutes les équations 0, outre les v 2 - v 3 v 4 . . . - I )" r„ 

 systèmes de racines indépendants qui satisfont déjà à ces équations. 



Cela étant impossible, tous les déterminants de l'assemblanl des 

 coefficients ne peuvent s'évanouir. 



Le cas où quelques déterminants de l'assemblanl des coefficients 

 s'évanouissent, se présente, quand le nombre des termes d'une ou 

 de plusieurs des fonctions <p est inférieur au nombre dvs termes 



des équations résultantes, ou, si l'on a O 1 >' j < //, //., . . ,g n - I 



pour une ou plusieurs valeurs de p. 



Les équations résultantes renfermant parmi leurs coefficients les 

 déterminants qui s'annulent, se ramènent dans ce cas à des équa- 

 tions d'un degré inférieur au degré adopté pour la fonction /', et 

 elles contiennent un nombre de termes inférieur à g 1 g 2 - • -ffn ~ '■ 



2. Tous les déterminants de l'assemblant des systèmes 

 de racines des équations données peuvent s'annuler. 



Cela peut se présenter dans les deux cas suivants: 



I. Pour toute valeur du degré de la fonction /•', si les systèmes 

 de racines des équations données ne sont pas tous différents; 



II. Pour des valeurs du degré de la fonction F inférieures 



n 



à Zg K —n. 



Dans le premier cas, les systèmes de racines doubles ou multi- 

 ples satisfont aussi bien aux équations données qu'à une équation 



n 

 homogène du degré 2g K — n. 



1 



Pour le démontrer, rappelons-nous que les variations simulta- 

 nées des variables d'un système de // équations homogènes à n-\-\ 

 variables sont proportionnelles aux valeurs qu'elles ont déjà obte- 

 nues. Partant de la propriété connue de la fonction homogène 

 ƒ (x, g, z, u, . . . ) du n"'""' degré, exprimée par l'équation: 



x Y-^g^+zY + « v + = »ƒ(*.* *. "-■■■)■■■ (29), 



dx ôy àz du 



on peut écrire le système d'équations (2) connue suit: 



Verhand. Kon. Akad. v. Wetensch. (I e Sectie). Dl, VIII. 



