LES SYSTÈMES DE KACINES. ! 9 



Employant la notation connue A x , A 2 ,. . .A n + i pour les déter- 

 minants de L'assemblant (32), on obtient parla résolution des systè- 

 mes d'équations (30) et (31) les égalités 



33 



x y z u 



dx dy dz du 



d'où l'on pent déduire immédiatement: 



dx du dz du 



- = — = - = — = etc. . (34) . 



x y z u 



Deux systèmes de racines (x 1 , y v ~ p u x , . . .) et (x , y.,, z 2 , u.,, . . .) 

 pouvant devenir égaux, les différences x x — x 2 , y x — y 2 , z x — ~.,, 

 ■tij — u 2 ; . . . substituées aux variations simultanées dx, dy, dz, du,. . . 

 dans les équations (31), doivent rendre ces équations identiques. 

 Ces substitutions faites, retranchons les équations (31) respectivement 

 des équations (30); on verra que deux systèmes de racines différents 

 satisfont aux équations (30), tandis que les coefficients ne changent 

 pas de valeurs. 



Pour que ce soit possible, il faut que tous les déterminants de 

 l'assemblant (32) s'évanouissent *). Cependant, il suffit qu'un seul 

 de ces déterminants soit nul, car on peut déduire de la première 

 équation (33) que tous les déterminants de rassemblant fonctionnel 

 s'annulent, quand c'est le cas avec l'un d'entre eux. 



En égalant à zéro l'un des déterminants de l'assemblant fonction- 

 nel qui ne s'annule pas identiquement, on obtient une équation du 



n 



degré £y A - — n, qui devient identique en substituant aux variables 



-i 

 les systèmes de racines doubles ou multiples des // équations 



données, 



Les systèmes de racines doubles ou multiples des équations don- 

 nées sont donc les solutions communes de n -j- 1 équations homogènes 

 à n -f- 1 variables, qu'on peut évaluer suivant les méthodes men- 

 tionnées dans notre mémoire „Théorie générale de l'élimination." 



Dans le cas cité au commencement de eel article sub II le 

 théorème des assemblants supplémentaires est encore applicable pour 



n 



i < Sy A - — n, mais il faut supprimer dans ce cas de l'assemblant 

 î 



des systèmes de racines les colonnes qu'on peut regarder comme 



dépendantes des autres colonnes. 



') Comparer: Théorie générale de l'élimination § 21. 



