20 LES SYSTÈMES DE RACINES.' 



3. Si quelques déterminants de l'assemblant des coeffi- 

 cients s'évanouissent, les déterminants supplémentaires de 

 rassemblant des systèmes de racines s'annulent aussi; et 

 réciproquement, si les équations données n'ont pas de systèmes 

 de racines égaux, et que quelques déterminants de rassem- 

 blant des systèmes de racines s'évanouissent, les détermi- 

 nants supplémentaires de l'assemblant des coefficients 

 s'annulent également. 



Ce théorème découle directement du rapport constant entre les 

 déterminants supplémentaires des deux assemblants supplémentaires. 



4. Si un nombre inférieur à g 1 g 2 . . . g n -J- 1 lignes de 

 l'assemblant des systèmes de racines sont liées par une 

 relation linéaire, tout déterminant de cet assemblant qui 

 contient ces lignes, s'annule; et réciproquement, si tous les 

 déterminants de l'assemblant des systèmes de racines qui 

 ont g 1 g 2 ... g n — k -j- 1 lignes communes, s'annulent, il 

 existe une relation linéaire entre cesg l g 2 . . . g n — X - -f~l lignes. 



La première partie de ce théorème est évidente, la seconde partie 

 découle des équations résultantes qui existent entre g 1 g 2 . . . g n -f- 1 

 arguments quelconques de la fonction F. Pour obtenir cette relation 

 linéaire, on forme une équation résultante contenant parmi ces 

 coefficients /; des déterminants qui s'annulent. . 



5. Si n équations homogènes à n -f- 1 variables ont en 

 tout g* g 9 . . . g n — k systèmes de racines différents, et que 

 l'on forme de la manière connue un assemblant de ces 

 systèmes de racines, les lignes de cet assemblant sont liées 

 par k relations linéaires, et en outre par les v 1 — v 2 -j- 

 y 3 -|- . . -j- ( — l) n ~' l v n relations linéaires existant déjà entre 

 ces lignes; toutes g x g 2 ... g n — k -\- 1 lignes de cet assem- 

 blant sont dans ce cas liées par une relation linéaire. 



Ce théorème découle de la théorie exposée dans le numéro 

 précédent, si on la compare aux conditions nécessaires pour l'exis- 

 tence de k solutions communes d'un système de n -j- 1 équations 

 homogènes à n -f- 1 variables 1 ). 



Si les n équations données admettent en tout g i g 2 . . .g n — k 

 systèmes de racines différents, les k systèmes de racines égaux à 

 d'autres systèmes de racines de ces équations satisfont encore à une 



équation homogène du degré "Zg h --n. Le système de n -j-1 équa- 



i 



tions homogènes formé par cette équation et les n équations don- 



'i Voir: Théorie générale de l'élimination, i; 112 et § 115. 



