LES SYSTEMES DE RACINES. 2 I 



nées admet dans ce cas /■ solutions communes. Pour que ce soit 

 possible, il faut que les lignes de rassemblant de la lunet ion F 

 qui se rapporte à ce système de n - I équations homogènes soient 

 liées par h relations linéaires indépendante-. Ces k relations linéaires 

 augmentent donc le nombre des relations linéaires existanl déjà 

 entre les lignes de l'assemblant des systèmes de racines des équa- 

 tions données. 



La dernière partie de ce théorème est un corollaire de la première. 



§ 9. Les théorèmes du paragraphe précédent fournissent le 

 caractère distinctif de l'égalité des systèmes de racines de l'équation 

 finale entre deux variables désignées, et en pins nue méthode 

 pour évaluer les systèmes de racines doubles ou multiples de cette 

 équation. 



Si /,■ systèmes de racines de l'équation finale entre deux variables 

 désignées sont égaux à d'autres systèmes de racines de cette équation, 

 de sorte que le nombre de ses systèmes de racines différents esl 

 9\9i- • • 9» — ^' toutes f/ x g 2 . . . .g n — /,• -\- 1 lignes de l'assemblant 

 des systèmes de racines des équations données qui renferment seu- 

 lement les valeurs de ces deux variables, sont liées par une relation 

 linéaire (Voir § 18). 



Dans ce cas, tout déterminant de cet assemblant s'annule. 

 quand il renferme g 1 g 2 ....//„ • — ■ /• -f- 1 lignes composées seule- 

 ment des valeurs des deux variables désignées, et son déterminant 

 supplémentaire de l'assemblant des coefficients s'évanouil également. 



Réciproquement, l'équation finale entre deux variables désignées 

 a en tout g. g 2 . . . ,g n — /■ systèmes de racines différents, quand 

 ces déterminants de rassemblant des coefficients s'annulent qui se 

 rapportent aux déterminants supplémentaires de l'assemblant de- 

 systèmes de racines qui ont g 1 g 2 - ■ ■ ■//„ — k--\ lignes communes 

 composées seulement des valeurs de ces mêmes variables. 



Ce résultat devient illusoire, quand les équations admettent des 

 systèmes de racines égaux. 



Dans ce cas on n'obtiendrait pas de résultat, car tons les déter- 

 minants de l'assemblant des systèmes de racines s'annuleraient, 

 tandis que les déterminants de l'assemblant des coefficients auraient 

 en général des valeurs différant de zéro. 



§ 10. Appliquons la théorie précédente à un exemple général 

 et supposons (pic les équations données n'admettent pas de systèmes 

 de racines égaux. 



Prenant j = g* g 2 ■ • • -g n — '• l'assemblant des coefficients ne 

 contient qu'un seul déterminant qui renferme les valeurs de deux 

 variables désignées. Pour (pie l'équation finale entre ces variables 



