22 l.ES SYSTÈMES DE RACINES. 



contienne des systèmes de racines égaux, il faut que ce déterminant 

 s'annule. Il doit en être cle même du déterminant supplémentaire 

 de l'assemblant des coefficients, et réciproquement. 



Formons pour la môme valeur de j une équation résultante dont 

 tous les termes à un près renferment des arguments de la fonction 

 F composés seulement des deux variables désignées, tandis que le 

 terme restant renferme encore une autre variable. Le coefficient 

 de ce terme est précisément le déterminant en question, qui s'annule, 

 si l'équation finale a des systèmes de racines égaux. 



L'équation résultante qui nous occupe, se ramène dans ce cas à 

 une équation de deux variables d'un degré inférieur d'une unité 

 au produit des degrés des équations données. Les systèmes de racines 

 de cette équation sont alors les g x g 2 . . . g n — 1 systèmes de racines 

 différents de l'équation finale entre les mômes variables. 



§ 11. Dans le cas où deux systèmes de racines de l'équation 

 finale sont égaux, — sans que ce soit le cas des autres variables 



— on peut évaluer le système de racines double de l'équation 

 finale de la manière suivante. 



La plus petite valeur qu'on puisse donner à j dans cette évalua- 

 tion est g t g 2 . . . g„ — 2. 



Formons pour cette valeur de j une équation terminale conte- 

 nant c/ 1 g 2 . . . g n — 1 termes qui renferment seulement les deux 

 variables de l'équation finale, et deux termes qui ont pour diviseur 

 un binôme du premier degré entre les mômes variables. Ce binôme, 

 égalé à zéro, fournit une équation qui a pour racines le système 

 de racines double de l'équation finale. Le polynôme formé par les 

 autres termes de l'équation terminale considérée est dans ce cas 

 divisible par le môme binôme. 



Pour le démontrer, remarquons que l'équation terminale en 

 question devient identique pour deux valeurs différentes d'une 

 troisième variable, tandis que les deux autres variables conservent 

 leurs valeurs. Pour que ce soit possible, il faut — ordonnant cette 

 équation suivant les puissances descendantes de la troisième variable 



— que les coefficients de ses deux termes s'annulent pour les 

 valeurs considérées des deux autres variables. C. Q. F. D. 



§ 12. Si parmi les systèmes de racines de l'équation finale entre 

 deux variables désignées se trouvent deux systèmes de racines égaux 

 à d'autres systèmes de racines de cette équation, et qui ne se rap- 

 portent pas à des valeurs égales des autres variables, de sorte que 

 le nombre des systèmes de racines différents de l'équation finale 

 considérée est <) x //., . . . g n — 2, les deux coefficients (\n binôme 

 considéré dans le paragraphe précédent s'annulent. 



