24 LES SYSTÈMES DE ÎUCINES. 



au degré de la fonction F, si l'on veut obtenir une équation 

 terminale par laquelle on peut déterminer la troisième variable. 



Si le degré de la fonction F est j, elle contient j ' -\~ 1 ternies 

 renfermant seulement deux variables désignées, et j ternies con- 

 tenant, à part les mêmes variables, une troisième variable au premier 

 degré. Le nombre total, 2j -\- 1, de ces ternies ne peut être 

 supérieur à g x g 2 • • • ffn ~\~ 1> ^ e nombre des termes d'une équation 

 résultante. 11 résulte de là que le degré de la fonction F dans ce 

 cas ne peut pas être pris inférieur à \g x g 2 ■ ■ ■ 9n- 



§ 15. La propriété que les déterminants de l'assemblant fonc- 

 tionnel de n équations homogènes à n -j- 1 variables s'annulent en 

 substituant aux variables les éléments des systèmes de racines doubles 

 ou multiples de ces équations, explique pourquoi le déterminant 

 fonctionnel ou le jacobien de n équations homogènes à n variables 

 doit s'évanouir pour les valeurs des variables satisfaisant à toutes 

 ces équations. 



On peut considérer un tel système d'équations comme un système 

 de n équations homogènes à n -J- 1 variables dont l'une des varia- 

 bles a la valeur de zéro. Les solutions communes de n équations 

 homogènes à n variables sont donc les systèmes de racines doubles 

 ou multiples de n équations homogènes à n -\- 1 variables, la 

 dernière variable ayant la valeur de zéro. 



Si les n équations homogènes à n variables sont de degrés égaux, 

 les dérivées partielles du jacobien s'annulent aussi pour les valeurs 

 considérées des variables x ). Ce n'est pas le cas avec les dérivées 

 des déterminants de l'assemblant fonctionnel, ce qui se prouve 

 facilement. 



I. Une équation homogène A deux variables. 



1. Nombre des systèmes de racines indépendants. 

 § 16. Soit 



q> [x,y) == a x x" -j- a 2 x n ~^ y -f « 3 x"--y 2 -f . . . -\-a n+i y n =0 . . . (35) 



L'équation donnée du degré n. 



Le nombre des systèmes de racines est, comme on sait, égala». 



') Voir: G. Salmon, Leçons d'Algèbre Supérieure, n° 89. 



