LES SYSÏ li.MKs DE RACINES. 27 



le déterminanl (40) e1 tous les déterminants de l'assemblanl (36) 

 s'annulent; et réciproquement, si le déterminanl (40) s'annule, 

 l'équation (35) aura des systèmes de racines égaux, et tous les 

 déterminants de l'assemblant (36) s'évanouiront également. 



Si le déterminant (40) s'annule, il existe entre les lignes de cel 

 assemblant au moins une relation linéaire. Les n systèmes de 

 racines de l'équation (35) satisfont donc à une même équation 

 homogène du degré n — 1. 11 s'ensuit qu'au moins <leu\ de ses 

 systèmes de racines doivent être égaux. Les lignes de l'assemblanl 

 (36) sont dans ce cas liées par plusieurs relations linéaire-. 



Si l'équation (35) a en tout n — k systèmes de racines différents, 

 toutes n — k -J- 1 lignes consécutives de l'assemblant (30) sont 

 liées par la, même relation linéaire. 



Pour le démontrer, formons de la manière connue L'assemblant 

 des systèmes de racines, prenant n — /• pour le degré de la fonc- 

 tion F. Cet assemblant contient n — k -j- I lignes et a colonnes. 

 Dans le cas en question tout déterminant de cet assemblant s'annule 

 car il contient au moins deux colonnes identiques. Les lignes 

 de cet assemblant sont donc liées par une relation linéaire. La 

 môme relation existe évidemment aussi entre toutes u — k - I 

 lignes de l'assemblant (36). 



Il est clair que les coefficients de cette relation linéaire sont les 

 coefficients de l'équation du n — /•"'""' degré qui a pour racines 

 précisément les n — /■ systèmes de racines différents de L'équation 

 donnée. 



§ 19. Si l'équation (35) a en tout u — /• systèmes de racines 

 différents, les coefficients de cette équation sont liés par k relations. 



Pour obtenir ces relations il faut évaluer les k systèmes de racines 

 doubles ou multiples de l'équation donnée, qui sont, comme on 

 sait, les solutions communes des deux équations: 



n<h x »-\ _|_ ( „_l) (l2 x n-îy+ ( B _2) 0a .,..., -3 y 2 _|_. ..._(_«„ yn-i = j 



que l'on obtient en différentiant l'équation (35) par rapport à x 

 et à y. 



Si les équations (43) admettent une ou plusieurs solutions com- 

 munes, le résultant de ces équations doit s'annuler. 



Constituons pour rechercher les solutions communes des équations 

 (43) les assemblants de la fonction F de ces équations, prenant 

 successivement pour le degré de cette fonction 'In — 3, :2 n — i, 'In — ), 



