iS LES SYSTÈMES DE RACINES. 



etc., et notons les déterminants de ces assemblants respectivement 

 par ./, B, C, D, etc. l ) 



Pour k=\, le seul déterminant de l'assemblant A s'annule, et 

 la solution commune s'obtient de l'équation : 



B 2 œ + B l2 , = (44). 



Pour />• = 2, tous les déterminants de l'assemblant B s'annulent 

 (ce qui est le cas, si deux de ces déterminants s'évanouissent), et 

 les solutions communes sont déterminées par l'équation du second 

 degré : 



^:^ 2 +^.3^+£W 2 ==0 (45). 



Pour /■ = 3, tous les déterminants de l'assemblant C s'annulent 

 (ce qui est le cas, si trois de ces déterminants s'évanouissent), et 

 les solutions communes s'obtiennent par la résolution de l'équation 

 du troisième degré: 



A,3,4 ^ + A,3,4 «ty + Am x f + A^/ = (46), 



etc. 



Pour k = n — 1, les deux équations (43) ne forment qu' une 



seule équation. De là on peut déduire que l'on aura dans ce cas 



, , . . n n {n — 1) 9 



a x = un nombre arbitraire, a 2 = -Afl p ö! 3 = — - — - — a- a v etc. 



1 J. . z 



a n + i =f ja" a x , où A représente le rapport constant qui existe entre 



les termes correspondants des deux équations (43). Le premier 

 membre de l'équation (35) se réduit dans ce cas à la n' eme puissance 

 du binome x -\- ty, multipliée par a,. 



Kn divisant l'équation (35) par l'équation qui fournit les /: solutions 

 communes des équations (43), on obtient l'équation du n — /,:"' mc degré 

 qui a pour racines les n — h systèmes de racines différents de l'équation 

 donnée (35). 



Les coefficients de- cette équation forment les coefficients de la 

 relation linéaire qui existe entre toutes n — h -\- 1 lignes consécu- 

 tives de l'assemblant (30). 



§ 20. Appliquons cette théorie à l'équation du quatrième degré: 



a x <?; 4 -4- a 2 x 3 y -\- a 3 w 2 y 2 -\- a 4 xy à -J- a b y^ = (47) . 



') Voir: Théorie générale de l'élimination, § 87. 



