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30 LES SYSTÈMES DE RACINES. 



H. Deux équations homogènes à trois variables. 



1. Nombre des systèmes de racines superflus. 

 § 21. Soient 



(/> (x, y, z) = a 1 .>:' -f- ffg .c'- 1 y -\- « 3 x'-' 1 z-^-a^ x'- 2 ?/ 2 -\- a & x l ~ 2 yz 



+ h «*-*** + "i ^'-v + + Yt 2 r' = ° ' 



les équations données, respectivement des degrés / et m, oîil>m. 

 Prenant / pour le degré de la fonction F, on obtient les valeurs : 



^i+( / ^; +2 ) ! | (52). 



/ — m 4- 2\ 



°* = C 2 ) 



On peut tirer de ces valeurs les conclusions suivantes l ) : 



1. Si m 5^2, les ///z systèmes de racines des équations données 

 sont indépendants ; 



2. Si m >> 2, le nombre des systèmes de racines superflus est 



{m— Y) (m— 2) sm—ï 



2 



1.2 



(V) < 53 >- 



Exemples: Pour /= 3, m = 3, on trouve v 2 = 1, 



/= 4, m = 3, „ „ y 2 = 1, 

 ,, /= 4, m = 4, ,, ,, y 2 = 3, etc. 

 Remarque. La formule qui fournit le nombre des systèmes de 

 racines superflus dans le deuxième cas peut aussi s'appliquer au 

 premier cas 2 ). 



') Comparer le mémoire de Jacobi dans le journal de Crelle, tome 15 (1S3G), intitulé: 



De relationibus, quae locum habere debent inter puncta interseetionis duarum curvarum 

 vel tri uni superficierum algebraicum dati ordinis, simul cum enondatione paradoxi 

 algebraici. 



Voir aussi: (i. Salmon, Courbes planes, n". 33. 



') Si le premier membre de l'équation du degré le plus élevé peut se décomposer en des 

 facteurs de moindres degrés, le nombre des systèmes de racines superflus peut s'élever ;'i 



( 9 )> cc 'l 11 ' S,J prouve géométriquement sans aucune difficulté. Nous nous bornons 



à relever cette particularité, dont la démonstration algébrique nous conduirait à de trop 

 amples détails. 



