LES SYSTÈMES DE RACINJ 31 



2. Evaluation des systèmes de racines. 



PREMIER CAS. 



Tous les systèmes de racines des équations données ■•son/ différents. 



§ 22. Pour évaluer les lm systèmes de racines des équations 

 (51), formons les équations résultantes entre les lm - l derniers 

 arguments de la fonction J<\ prenant successivement pour le degré 

 de cette fonction lm, lm — 1, lm -2, etc. La première équation 

 résultante est l'équation finale entre y el z, la deuxième contient 

 x au premier degré, mais seulement dans le premier terme ; la 

 troisième la contient dans les deux premiers termes, la quatrième 

 dans les trois premiers termes, etc. 



Les deux premiers ternies de la troisième équation résultante ont 

 pour facteur un binôme entre y et ~ du premier degré, les trois 

 premiers ternies de la quatrième équation un trinôme entre y el : 

 du second degré, et ainsi de suite. 



Si tous les systèmes de racines de l'équation finale entre y i 

 sont différents, les deux premières équations résultantes suffisent 

 pour l'évaluation des lm systèmes de racines des équations données. 



§ 23. Si l'équation finale a en tout //;/ — 1 systèmes Av racines 

 différents, le coefficient du premier terme de la deuxième équation 

 résultante s'annule (§ 10). Cette équation se l'amène donc à une 

 équation entre y et z du degré lm — 1, ayant pour racines les 

 lm — 1 systèmes de racines différents de l'équation finale. La 

 deuxième et la troisième équation résultante sont dans ce cas divi- 

 sibles par le binôme entre y et z du premier degré renfermé comme 

 facteur dans les deux premiers termes de la troisième équation 

 résultante ($ 11). 



En divisant ces deux équations par le binôme considéré on obtienl 

 deux équations d'où l'on peut évaluer lm--2 systèmes de racines 

 des équations données. Pour l'évaluation des deux autres systèmes 

 de racines, il faut égaler à zéro le binôme considéré, el former 

 une équation résultante dont deux ternies contiennent x, l'un au 

 second, l'autre au premier degré. En résolvant ces dcu\ équations 

 on obtient les deux autres systèmes de racines des équations 

 données. 



§ 24. Si l'équation finale a en tout lm — 2 systèmes de raci- 

 nes différents, les coefficients des deux premiers termes de la troi- 

 sième équation résultante s'annulent, el cette équation se ramène à 

 une équation entre y et z du //// - J' degré dont les racmo 



