32 LES SYSTÈMES DE RACINES. 



sont les ha — 2 systèmes de racines différents de l'équation finale. 

 Par rapport aux deux autres systèmes de racines de l'équation 

 finale les deux cas suivants peuvent se présenter: 



1. l'équation finale a deux systèmes de racines doubles; 



2. cette équation a un seul système de racines triple. 



Dans le premier cas la troisième et la quatrième équation sont 

 divisibles par le trinôme entre y et z du second degré contenu 

 comme facteur dans les trois premiers termes de la quatrième 

 équation résultante. 



En divisant ces deux équations par le trinôme considéré on 

 obtient deux équations propres à évaluer Ira — 4 systèmes de racines 

 des équations données. Pour l'évaluation des quatre autres systèmes 

 de racines, on doit égaler à zéro le trinôme considéré et former une 

 équation résultante dont les trois premiers termes contiennent œ, le 

 premier au second, les deux autres au premier degré. La résolu- 

 tion de ces deux équations fournit les quatre autres systèmes de 

 racines. 



Dans le second cas le trinôme entre y et z du second degré 

 qui est facteur des trois premiers termes de la quatrième équation 

 résultante se ramène à un carré parfait. La troisième et la quatrième 

 équation résultante sont dans ce cas divisibles par le binôme qui 

 est la racine carrée du susdit trinôme. Ces divisions faites, on 

 obtient deux équations propres à évaluer lm — 3 systèmes de 

 racines des équations données. 



Pour évaluer les trois autres systèmes de racines on égale à zéro 

 le binôme en question et on forme une équation résultante dont 

 les trois premiers termes contiennent œ, respectivement au troisième, 

 au second et au premier degré. Ces deux équations fournissent 

 les trois systèmes de racines restants des équations données. 



§ 25. Il nous semble inutile d'entrer dans de plus amples 

 détails pour montrer comment on peut continuer cette théorie. 



Le nombre des cas qui peuvent se présenter quand l'équation 

 finale a en tout lm — h systèmes de racines différents équivaut à 

 celui des manières dont on peut partager le nombre /• en des 

 nombres entiers *). 



l ) On peut déterminer ce nombre en partant du développement suivant: 

 1 



1 + x + 2a?' + 3.f 3 + bx" + 7a,- 5 + ll.r 



(1— x)(l— x 1 ) l—x*){\—x") .... (1— a*) 



+ 15a; 7 + 22a;° + 30a; + 42.<- IU + .... +„ k .<•'• + 

 où le coefficient >i k de la kième puissance de x représente le nombre cherché. 



Voir: L. Eui.ER, [ntroductio in analysin infinitunun, ij 324, traduit en allemand par 

 II. SIaser (1885) sous le titre „Einleitung in die Analysis des Unendlichen." 



