36 LES SYSTÈMES DE EA.CINES. 



une fois une solution commune des trois susdites équations, les sys- 

 tèmes de racines triples deux fois, et ainsi de suite. 



On peut donc évaluer les systèmes de racines doubles ou mul- 

 tiples des équations données en appliquant la méthode pour l'évaluation 

 des solutions communes de n équations homogènes à n variables, 

 mentionnée dans notre mémoire „Théorie générale de l'élimination." 



Il ne nous semble pas inutile de rappeler ici que la méthode 

 par laquelle on obtient l'équation finale et les autres équations 

 résultantes donne encore un autre moyen pour former les équations 

 fournissant les solutions communes de n équations homogènes à n 

 variables. Par l'application de cette méthode on peut écrire immé- 

 diatement les équations qui fournissent ces solutions communes. 



§ 29. Quoiqu'on puisse évaluer de cette manière les systèmes 

 de racines doubles ou multiples, il n'est pas nécessaire de les déter- 

 miner séparément des autres systèmes de racines des équations 

 données. On se servira plutôt de la méthode que nous avons 

 appliquée, lorsqu'il s'agissait d'équations dépourvues de systèmes 

 de racines égaux. 



Formons de nouveau les équations résultantes entre les 1 m -\- 1 

 derniers termes de la fonction F, prenant successivement pour le 

 degré de cette fonction lm,lm — 1,1 m — 2, etc. La première 

 équation résultante ainsi obtenue est l'équation finale entre y et z. 

 Si les équations données ont en tout lm — k systèmes de racines 

 différents, l'équation finale a tout au plus lui — Je systèmes de 

 racines différents. En ce cas il n'est pas de rigueur que le premier 

 terme de la deuxième équation résultante s'annule. 



Si le coefficient du premier terme de la deuxième équation 

 résultante a une valeur différente de zéro, les deux premières 

 équations résultantes suffisent pour déterminer les systèmes de racines 

 des équations données. 



Si le coefficient du premier terme de la deuxième équation 

 résultante s'annule, cette équation se ramène à une équation entre 

 y et z du degré lm — 1, ayant au moins pour racines tous les 

 systèmes de racines différents de l'équation finale entre les mêmes 

 variables. La troisième équation résultante est dans ce cas divisible 

 par le binôme entre y et z du premier degré qui est facteur des 

 deux premiers termes de cette équation. 



Si les coefficients des deux premiers termes de la troisième 

 équation résultante s'annulent, cette équation se ramène à une 

 équation entre y et z du degré lm--2, ayant au moins pour 

 racines tous les systèmes de racines différents de l'équation finale 

 entre les mêmes variables. 



