38 LES SYSTÈMES DE EACINES. 



On déduit de ces équations que l'un des systèmes de racines 

 des équations (71) est a? =- un nombre arbitraire, y = 0, z = 0, 

 et que les trois autres systèmes de racines de ces équations, Vi,4,ù,6 

 différant de zéro, sont déterminés par les deux dernières équations (73). 



3. Détermination des systèmes de racines superflus en 

 fonction des autres systèmes de racines. 



§ 31. Si m >> 2, les hn systèmes de racines obtenus par les 

 méthodes expliquées dans les paragraphes précédents sont liés par 



Ç U ~Z ) relations, de sorte que l'on peut regarder hn — ( ' j 



ou ( \) j — ( o J — 1 systèmes de racines comme indé- 



pendants entre eux. 



Cependant, on ne peut prendre arbitrairement un si grand nombre 

 de systèmes de racines, car les coefficients de la deuxième équation 



(51) sont déjà parfaitement déterminés par f 'T J — 1 systèmes 

 de racines indépendants, c'est-à-dire par m (l — m) — 1 systèmes 

 de racines de moins que hn — (9 )• Les m {l — m) — 1 systè- 

 mes de racines restants doivent être choisis de telle manière qu'ils 

 satisfassent à l'équation homogène du m n '""' degré déterminée par 



les f 9 J — 1 autres systèmes de racines indépendants. 



Cependant ce n'est pas la seule condition à laquelle les hn — ( j 



systèmes de racines indépendants doivent satisfaire 1 ). 



Si l'on veut que les équations (51) ne puissent se décomposer 



en facteurs de degrés inférieurs, il n'y a pas plus de mk — f 9 ) 



ou ( j — f 9 y — 1 ^es C 9 ) — ^ svs ^mes de 



racines considérés qui peuvent satisfaire à une même équation 

 homogène du /•"'""' degré entre les mêmes variables, où h << m. 



Par contre, si l'on veut admettre que les équations données puissent 

 se décomposer en facteurs de moindres degrés, le nombre des systèmes 

 de racines indépendants qui peuvent satisfaire à une même équation 



du /:" degré est tout au plus de Ç l + 2 ) — (^ ~~ * + 2 ) , 



') Comparer: (1. Salmon, Courbes planes n° 28. 



