LES SYSTEMES DE RACINES. I ï 



3. Si m~^> 8,n<^&, et par conséquent l^> m-\-n- 3, le nombre 



des systèmes de racines superflus est 



ft-*— Cl^ + C" 1 "; -1 ) ''•" 



4. Si n > 3, i^>m-\~?i — 3, le nombre des systèmes de racines 



superflus est 



&+ft-%=-(V)-(VM" ,+ s -1 )-- < 99 > : 



5. Si n > 8, l <i m ~f- m — 3, le nombre des systèmes de racines 



superflus est 



/w-f-7' — l — 1\ Z'»- — 1\ 

 <%-<% = -( T 3 )-( 3 ) 



-('"7 ')+('"+"-') (100). 



Exemples : 



Pour 1=2 , m = 2 , « = 2 , on trouve — p 3 = 1 ; 



„ / = 3 , m = 3 , m = 2 , „ „ — v 3 = 4 ; 



„ /=4,«» = 3,» = 3, ,, ,, — t»o = 10 ; 



„ / = 7 , m = ö , n = 5 , „ „ v 2 — y g = 105 ; etc. 



Remarque. La formule qui fournit le nombre des systèmes de 

 racines superflus dans le dernier cas, peut aussi s'appliquer aux 

 autres cas, si Ton regarde comme des /.('mos les coefficients binomi- 



aux des puissances négatives qui se présentent dans le cas où 

 />»/ + « — 1 l ). 



') Les résultats obtenus dans ce paragraphe na diffèrent pas de ceux mentionnés 

 par Jacoiu dans le journal de d'elle, tome 15 (1836), et qu'il énonce comme suit: 



Si ii^.v-\-&, numerus punctorum, per quae superficiem fi'' ordinis ducere lie t. quae 

 in curva intersectionis duarum superficierum v" et »'' ordinis ex arbitrio accipere licet, est 



Si |k>v, n > », sed (t < v + \jl tit idem numerus 



- f , o * + <S\ . (v + tf — j* — 1) (v + <0 — f* — 2) (v + « — m — 3) 

 „,^ + 2__^ + — 1. 



Si l'on retranche le nombre des points, que l'on peut choisir \\ volonté, du nombre 

 de (j. v », ou obtient précisément le nombre des systèmes de racines superflus mentionné 

 dans ce paragraphe. 



