48 LES SYSTÈMES DE RACINES. 



2. Evaluation des systèmes de raeines. 



§ 38. Cette évaluation s'opère de la môme manière que dans 

 le chapitre précédent. 



Si l'on veut s'assurer de l'existence de systèmes de racines égaux, 

 il faut former le résultant des trois équations données et d'une des 

 équations que l'on obtient en égalant à zéro l'un des déterminants 

 de l'assemblant fonctionnel qui ne s'annule pas identiquement: 



ôqp 



ôqp 



cKjP 



èqp 



ô# 



ty 



d* 



du 



*X 



ï>X 



*X 



*x 



(101). 



àx dy dz du 

 èv|/ d^ ôip àvj/ 

 öa? ôy 02" ô« 



Si ce résultant s'annule, les équations données ont un ou plusieurs 

 systèmes de racines égaux. 



L'évaluation des systèmes de racines doubles ou multiples peut 

 se faire de la même manière que dans le cas où il y a deux équa- 

 tions homogènes à trois variables. 



§ 39. Pour évaluer les systèmes de racines des équations don- 

 nées (95), prenons successivement pour le degré de la fonction F 

 Imn, Imn — 1, Imn — -2, etc., et formons de la manière connue 

 l'équation finale et les équations terminales qui sont nécessaires pour 

 la détermination des autres variables. 



Si l'équation finale a des systèmes de racines doubles ou multi- 

 ples, il se peut que les équations terminales perdent la troisième 

 ou la quatrième variable, ou qu'on puisse décomposer ces équations 

 en des facteurs dont l'un ne contient que les deux variables de 

 l'équation finale considérée. 



En somme, les mêmes cas que nous avons considérés dans le 

 chapitre précédent, peuvent se présenter dans le cas où il y a trois 

 équations homogènes à quatre variables. 



Nous ne nous arrêterons pas à entrer dans d'autres détails. 



§ 40. Appliquons en dernier lieu la théorie du paragraphe 

 précédent aux trois équations homogènes à quatre variables: 



" i •' " (- "2' i: f/ + H xz + "ï rH ~\ "if/ 2 + H 'l z + "r'J n + 'V 2 + û d ZH + a \ n" 2 = ° . 

 b l a*-\-b i a:y-> r b i xz-\-b 4i xu-\- £ 5 y 2 -f V/*+i5 7 y«+V 2 + V«-H 10 K a = 0, | ■ . ( l 02), 



'V' + c %v + c -i z + c i H — ü ' 

 où / = 2, m = 2, n = 1. 



