50 LES SYSTÈMES DE RACINES. 



, 2 J\ 7. 9, 10 * 2 + 2 A, 7, 8, 10 ™ + X 7, 8, 9 « 2 , _ A m] , 



i?7,8,9,10 2 T~ ^6,8,9,10^ 



et la troisième équation (102). 



Si l'on a ^ö 78 ,9io = e ^ ^6,8,9,10 = 0> l'équation (106) se ramène 

 à une équation entre 2 et u du second degré, ayant au moins pour 

 racines tous les systèmes de racines différents de l'équation finale 

 (104). Dans ce cas, les systèmes de racines des équations données 

 (102), découlent de l'équation: 



2 ^6,7,9,10^ 2 + ^6,7,8,10^ "T" ^6, 7,8,9 ^ = (112), 



l'équation (107) et la troisième équation (102). 



3. Les systèmes de racines superflus. 



§ 41. La méthode qui permet d'exprimer les systèmes de raci- 

 nes superflus en fonction des systèmes de racines qu'on peut regar- 

 der comme indépendants, ne diffère pas de celle appliquée dans le 

 cas de deux équations homogènes à trois variables. 



Nous nous bornerons par rapport à ce sujet à la determination 

 du huitième système de racines des trois équations homogènes du 

 second degré à quatre variables: 



h x2J rh x y-\-h xllJ rh m -\- hy % -\- b ^ z -\-hy u -\-h z%J r è 9 2«-f g io w2 = > • • -(113) 



en fonction des sept autres systèmes de racines de ces équations. 



Les produits des éléments correspondants des huit systèmes de 

 racines de ces équations forment une proportion avec les résultants 

 des équations que l'on obtient en égalant à zéro l'une des variables. 



On obtient donc l'égalité: 



D' 



X x 00 2 . . . X 1 3,' 8 y i^ 2 - ■ -^7^8 Z \ Z 2 • • • Z l H _ U \ U 2 • • ■ U l u 8 M 1 h 



Jl ,c = o - /l y = o ■"« =0 xl u = 



dans laquelle B x = représente le résultant des équations: 



firj/ 2 -j- a % yz + a^ya -\- a g z 2 -4- a^zu + a ]0 u 2 = 0, 



b bf + hv z + b iy u + h ~ 2 + h Zii + ^10 u ' 2 = °> i ( 1 1 5 )> 



c sf + HV Z + c i!l" I C 8 Z * i c v z " + V 2 = °> 

 et ainsi de suite. 



