4 FOCALES DES COURBES PLANES ET CxAUCHES. 



née cl, et passant par la conique c 2 . Soit / une génératrice de ce 

 cône (F c 2 ) passant par un des deux points, où ce cône touche 

 la courbe donnée cl. Alors le sommet F est le point de rencontre 

 de deux droites /. Si le point F décrit la focale, les denx droites 

 / décrivent une surface réglée O, dont la focale est une courbe 

 nodale. Les deux tangentes aux courbes cl et c 2 en les points, où 

 ces deux courbes coupent la droite /, sont dans le plan tangent 

 au cône (Fc 2 ), le long de la génératrice /. Soit o le plan tangent 

 au cône, tout le long de la génératrice / et o' un second plan o 

 infiniment voisin. Le plan o' passera par une tangente à la courbe 

 cl et par une tangente à la conique c 2 , lesquelles seront infiniment 

 voisines des deux tangentes à ces courbes cl et c 2 , situées dans le 

 plan o. Si le plan o' s'approche du plan o, les deux tangentes, 

 situées dans ce plan o', passent, à la limite, par les points, où le 

 plan o touche les courbes cl et c 2 . Donc, la limite vers laquelle 

 tend la droite d'intersection des plans o et o' est la droite /, située 

 dans le plan o. Par conséquent la surface développable , enveloppée 

 par le plan o, quand ce plan o glisse sur les deux courbes cl et 

 c 2 , est la surface réglée, formée par les droites /. 



Pour résumer: la focale d'une courbe cl est une courbe nodale de 

 la surface développable O, décrite par une droite /, qui glisse sur 

 les courbes cl et c 2 de sorte que les tangentes à ces deux courber cl et c 2 

 en leurs points de rencontre avec la droite /, sont dans un môme plan o. 



Donc, l'étude de la focale est l'étude de cette surface dévelop- 

 pable O. (voir G. Darboux: Sur une classe remarquable de cour- 

 bes et de surfaces algébriques, page 19). 



§ 3. Notatiom. Les notations employées sont celles A'Ernesto 

 Pascal, Repertoria cil Matematiclie Superiori, Tï Geometria; Ulrico 

 Hoepli, Milano, 1900. 



Je les fait suivre: Soit 



n le degré de la courbe gauche; 



r le rang; 



// le nombre des noeuds apparents; 



// le nombre des plans bitangents à la courbe, qu'on peut 

 mener par un point donné? 



/3 le nombre des, points de rcbroussemcnt (points stationna ires); 



// le nombre des points doubles (noeuds); 



o le nombre der tangentes d'inflexion (tangentes, qui ont de 

 commun avec la courbe, trois points infiniment voisins); 



m la, classe de la surface développable; 



// le nombre (\c* droites, dans un plan quelconque, par elia- 



