6 FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



surface 0, ou cette courbe d est une courbe nodale de la déve- 

 loppable 0. 



De même, une tangente à la conique c 2 en le point P rencontra, 



en g nierai, plusieurs droites, tangentes à la courbe donnée d en 

 les points Qy , Q 2 etc. Les droites FQ { , PQ 2 etc. seront des 

 génératrices / de la développable 0. Sur cette développable, la 

 conique c 2 sera donc une courbe multiple. 



La courbe nodale de la développable O consiste, par conséquent, 

 en la courbe d, en la courbe c 2 et en une courbe résidua ire ƒ. Cette 

 dernière sera la courbe focale de la courbe donnée d. En effet, 

 par chaque point F de la courbe ƒ passent deux génératrices /j et 

 L, comme elle est une courbe nodale; si donc on considère le cône 

 du second degré, qui a pour sommet ce point F et pour courbe 

 de base la conique c 2 , sur ce cône seront situées les deux géné- 

 ratrices /j et 1 2 et ce cône sera doublement tangent à la courbe 

 donnée d. Les point de contact seront les points M x et M„, où 

 la courbe d coupe les deux droites L et / 2 puisque les tangentes 

 à la courbe d en ces point j\1 x et M 2 sont situées dans les plans 

 o, qui passent par les génératrices /j et l 2 , et que ces plans o 

 sont des plans tangents du cône (F c 2 ). 



§ 5. Si l'on considère le cône (Q c 2 ) dont un point Q, situé 

 sur la courbe donnée d, est le sommet et dont la conique c 2 est 

 la courbe de base, on remarquera que ce cône contient parmi ses 

 génératrices deux droites / (§ t), et que les plans o, qui passent 

 par ces génératrices / sont des plans tangents du cône (Q c„) le 

 long de ces droites /. Ces plans o étant des plans tangents de la 

 développable O le long de ces mêmes droites /, contiennent les 

 tangentes à la focale ƒ en les points où cette focale /' rencontre 

 les droites /, donc ce cône {Qr 2 ) est un cône doublement tangent 

 à la focale, par conséquent, le sommet Q de ce cône est un foyer 

 de la focale; il en résulte, que la courbe donnée d est la focale 

 de la courbe focale /'. (G. DarbouX: Sur une classe remarquable 

 etc. page 1 !)). 



En déterminant la courbe focale /' «l'une courbe d on résuud 

 en même temps le problême de trouver la courbe dont la courbe 

 donnée d est la courbe focale. 



En appliquant le théorème, que la focale de la focale ƒ d'une 

 courbe d, est la courbe d, il faut bien s'assurer que les deux 

 courbes ƒ et d soient des courbes nodales de la surface O. 



Prenons, par exemple, pour la courbe d un cercle; alors la 

 focale est une droite /', passant par le centre du cercle et perpen- 



