FOCAl.ES des courbes planes et gauches. 7 



diculaire au plan de celui-ci. Il va sans dire que, dans ce cas, 

 il if v a pas de réciprocité entre les courbes ƒ et d, une ligne 

 droite n'admettant pas de foyers. 



Ici le théorème tombe en défaut, la droite /' n'étant pas une 

 courbe nodale de la surface 0, niais l'intersection de; deux plans 

 o singuliers (§ 29). 



11 y a encore un cas remarquable. Le cône du second degré, 

 qui passe par la conique c, et dont le sommet est un point ôde 

 la courbe d, ou un point F de la focale /', est bitangent à l'arête 

 de rebroussement a de la surface 0. Les points de contact sont 

 les deux points, où les deux droites / qui passent par le sommet 

 du cône touchent la courbe a. Far conséquent, la focale de la 

 courbe a consiste en les deux courbes d et /'. Les points de la 

 courbe a ne sont pas des foyers des courbes d ou /'; donc, ici 

 encore il n'y a pas de réciprocité. 



Dans le cas que la développable se décompose en deux déve- 

 loppâmes 0' et 0", la focale de la courbe d consiste en la courbe 

 d'intersection -s des deux développables O' et 0" et en les courbes 

 nodales de ces deux surfaces. La courbe d est une courbe focale 

 de la courbe -y, mais elle ne l'est évidemment pas des deux cour- 

 bes nodales, donc, ici encore il n'y pas de réciprocité (voir § 70). 



§ G. Des projections de la courbe d sur le /dan V . Si d'un 

 point C de la surface 0, comme centre de projection on projette 

 la. courbe donnée d sur le plan F de la conique c», la projection 

 est une courbe d' , tangente à la conique c, en le point, où la 

 droite / passant par le poinr C rencontre la conique <\ 2 . 



Si le centre de projection C est situé sur l'arête de rebrousse- 

 ment a de la surface 0, la projection d' de la courbe d sur le 

 plan F, aura un contact de l'ordre deux avec la conique c, en le 

 point, où la droite /, qui est tangente à la courbe a en le point 

 C, rencontre la conique c 2 . 



Si le centre de projection est un point stationnaire /S de barète 

 de rebroussement a, la projection d' de la courbe d sur le plan /' 

 aura, un contact de l'ordre trois avec la conique c.,; le point de 

 contact est le point, où la conique c 2 coupe la droite /, tangente 

 à la. courbe a en le point /3. 



Si le centre de projection est n\\ noeud // de l'arête de rebrous- 

 sement a , la projection d' de la courbe d sur le plan V, aura deux 

 contacts de l'ordre deux avec la conique c*; les points de contact 

 sont les points où la conique c 2 coupe les deux génératrices /, 

 (pii touchent la courbe a dans le noeud //. 



