S FOCALES DES COURBES PLANES ET GAUCHES. 



Si le centre de projection est un point et de l'arête de rebrous- 

 sement a, la projection d' de la courbe d sur le plan V devra 

 avoir une tangente d'inflexion qui sera, en son point de contact 

 avec la courbe d' , également une tangente d'inflexion de la co- 

 nique <? 2 . La tangente d'inflexion commune sera la droite d'inter- 

 section des plans V et et. 



La conique c 2 ne possédant pas de tangentes d'inflexion, il 

 s'ensuit que l'arête de rebroussement a ne possédera pas de plans 

 a. Ce raisonnement tombe en défaut, dès que le centre de pro- 

 jection se trouve dans le plan V de la conique c 2 . On peut donc 

 énoncer le théorème suivant. 



Si l'arête de rebroussement a de la dévcloppable O possède des 

 plans stationnaires a, les points de contact et de ces plans seront 

 tous situés dans le plan V. 



Si le centre de projection est un point de la focale , la pro- 

 jection de la courbe d sur le plan V sera bitangente à le conique c 2 . 



Si le centre de projection est un point triple de la surface O 

 où se coupent trois nappes de la surface O et où passent par con- 

 séquent trois branches de la focale, la projection de la courbe d 

 sur le plan V sera tritangente à la conique c 2 . Tous ces théo- 

 rèmes tombent en défaut dès qu'on prend le centre de projection 

 sur la courbe d, dans le plau V ou sur la surface développable 

 dont la courbe d est l'arête de rebroussement. 



§ 7. Les inverses de ces théorèmes sont également vrais. Ainsi, 

 pourque la projection d' de la courbe d sur le plan V soit tan- 

 gente, bitangente au tritangente à la conique c 2 , il faut que le 

 centre de projection soit situé sur la surface 0, sur la focale, ou 

 que ce soit un point triple de la focale. 



Pour que la projection d' de la courbe d sur le plan V ait un 

 contact de l'ordre un, deux on trois avec la conique c 2 , il faut 

 que le centre de projection soit situé sur la surface 0, sur l'arête 

 de rebroussement a de la surface 0, ou que ce soit un point 

 station naire (2 de la courbe a. 



Pour les théorèmes précédents la courbe d est supposée n'avoir 

 pas de position particulière par rapport à la conique c 2 ou par 

 rapport au plan V. 



Par exemple posons que la courbe d coupe la conique c 2 dans 

 un point P. Soit t le plan déterminé par les deux tangentes aux 

 courbes d et c 2 en le point commun P , alors en prenant le centre 

 de projection dans le pian t, le point P scia un point de contact de 

 la projection d' et de la conique c 2 . Donc, en ce cas, le lien 



